2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2014年(平成26年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.22記
チェザロ平均

(3) の答は $\displaystyle\lim_{n\to\infty} p_n$ に一致する．

[大人の解答]

(1) $p_1=\dfrac{1}{a+3}$ ， $p_2=\dfrac{a+2}{(a+1)(a+3)}$ ．

(2) $p_n=\dfrac{1-p_{n-1}}{a+1}$ を解いて $p_n=\dfrac{1}{a+2}-\dfrac{1}{(a+3)(a+2)}\Bigl(-\dfrac{1}{a+2}\Bigr)^{n-1}$ ．

(3) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} p_n=\dfrac{1}{a+2}$ により，チェザロ平均も同じ値に収束するので $\displaystyle\lim_{m\to\infty} \dfrac{1}{m}\sum_{n=1}^m p_n=\dfrac{1}{a+2}$ ．

2022.03.07記

[解答]

(1) $p_1=\dfrac{1}{a+3}$ である．

$p_2$ について，白赤と出る確率は $\dfrac{a+2}{a+3}\cdot\dfrac{1}{a+1}$ であり，赤赤と出ることはないので $p_2=\dfrac{a+2}{(a+1)(a+3)}$ である．

(2) 赤赤と連続して出ることはないので， $n+1$ 回目に赤が出るためには $n$ 回目は白でなければならないので
$p_{n+1}=\dfrac{1}{a+1}(1-p_n)$
が成立する．よって
$p_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{(a+1)^{n-1}}\left(p_1-\dfrac{1}{a+2}\right)+\dfrac{1}{a+2}$
$=\dfrac{(-1)^{n-1}}{(a+1)^{n-1}(a+2)(a+3)}+\dfrac{1}{a+2}$

(3) $q_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{(a+1)^{n-1}}$ とおくと
$p_n=\dfrac{1}{(a+2)(a+3)}q_n+\dfrac{1}{a+2}$
である．ここで等比数列 $q_n$ は $a\geqq 1$ より，公比の絶対値が1未満であるから，
$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m q_n$
は収束するので
$\displaystyle\lim_{m\to\infty}\dfrac{1}{m}\sum_{n=1}^m q_n=0$
である．
よって $\displaystyle\lim_{m\to\infty}\dfrac{1}{m}\sum_{n=1}^m p_n$ $=\dfrac{1}{a+2}$
となる．