2006年(平成18年)東京大学前期-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.04.01記

[4] $\theta$ は， $0^{\circ}\lt \theta\lt {45}^{\circ}$ の範囲の角度を表す定数とする． $-1\leqq x\leqq 1$ の範囲で，関数
$f(x)=|x+1|^3+|x-\cos 2\theta|^3+|x-1|^3$
が最小値をとるときの変数 $x$ の値を， $\cos\theta$ で表せ．

本問のテーマ

最小3乗基準による代表値

2020.04.01記
最小1乗基準（最小絶対偏差基準）による代表値は
$|x+1|+|x-\cos 2\theta|+|x-1|$
の最小値を与える $x$ となり，それは中央値
$x=\cos2\theta$
となる．

最小2乗基準による代表値は
$|x+1|^2+|x-\cos 2\theta|^2+|x-1|^2$
の最小値を与える $x$ となり，それは中央値
$x=\dfrac{\cos2\theta}{3}$
となる．

このことの例題として
1958年(昭和33年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
を挙げておく．

では、最小3乗基準による代表値はどうだろうか，という問題。残念ながらその答が統計量として使われている訳ではないし，一般的な場合を簡単には書くのが難しい．

下に凸な関数 $f(x)$ の最小値を与える $x$ は唯一で、これが $-1\leqq x\leqq 1$ の範囲にあるのは明らかで、既に問題文に与えらえれている。

[解答]
$f(x)=6x^2+2+|x-\cos 2\theta|^3$ は、 $6x^2+2$ が $x=0$ で最小、 $|x-\cos 2\theta|^3$ が $x=\cos 2\theta$ （ $0\lt\cos 2\theta\lt 1$ ）で最小となるので、 $f(x)$ は $0\lt x\lt \cos 2\theta$ のどこかで最小となる。

この範囲では $f(x)=6x^2+2-(x-\cos 2\theta)^3$ であるから、 $f'(x)=12x-3(x-\cos 2\theta)^2=0$ つまり、
$x^2-2(\cos 2\theta+2)x+\cos^2 2\theta=0$ の2解のうち、 $-1\leqq x\leqq \cos 2\theta$ の範囲にあるものが求める $x$ である．よって
$x=\cos 2\theta+2-\sqrt{4\cos2\theta+4}$ $=2\cos^2 \theta+1-2\sqrt{2\cos^2\theta}$ $=2\cos^2 \theta+1-2\sqrt{2}\cos\theta$ （∵ $0\lt\cos \theta$ ）

なお、1乗の場合 $x=\cos2\theta$ で最小、2乗の場合 $x=\dfrac{\cos2\theta}{3}$ で最小となり、値が小さくなっていることから、
3乗の場合はより小さくなっていると予想される。実際、3倍して比較すると
$\cos2\theta-3(2\cos^2 \theta+1-2\sqrt{2}\cos\theta)$ $=-4\cos^2\theta-4+6\sqrt{2}\cos\theta)$ $=-4\left(\cos\theta -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)(\cos\theta-\sqrt{2})$
は $0^{\circ}\lt \theta\lt{45}^{\circ}$ において正となっている。

さらに4乗、5乗、と続けていった極限はどうなるだろうか？最小「無限大」乗の場合は、無限大ノルムが最大値となることから、ミニマックス基準となる、つまり最大値と最小値の真ん中が答えとなるので、 $x=0$ において最小となる。

無限大ノルムが絶対値が最大なものになることは
1943年(昭和18年)東京帝國大學理學部-數學[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
を参照のこと。