1913年(大正2年)東京帝國大學工科大學-數學[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[4] A man climbs a mountain. His rate of climbing. if measured vertically, is $\Bigl(1-0.49\dfrac{h^2}{H^2}\Bigr)$ shaku per second; where $h$ is his vertical elevation at an instant and $H$ the vertical height of the summit, both measured in shaku from his starting point. Supposing $H$ to be ten thousand shaku, find the time that he spends for the whole course from the starting point to be the summit. $\log_e 5.67=1.735$ .

2019.03.07記

[4] 男が山を登っている。彼の登る割合は、垂直方向に秒速 $\Bigl(1-0.49\dfrac{h^2}{H^2}\Bigr)$ 尺である。ここで $h$ は彼の瞬間的な垂直高度であり、 $H$ は山頂の垂直高度であり、共に彼の出発点から尺で測られたものである。 $H$ を一万尺とするとき、彼が出発点から山頂に到達するまでにかかる時間を求めよ。 $\log_e 5.67=1.735$ とする.

出発してからの時間を $t$ とすると $\dfrac{dh}{dt}=1-0.49\dfrac{h^2}{H^2}$ だから、求める時間を $T$ とすると
$\displaystyle T=\int_{h=0}^{h=H}dt=\int_0^H \dfrac{dh}{1-0.49\dfrac{h^2}{H^2}} =\dfrac{H}{1.4}\left[\log\dfrac{1+0.7\dfrac{h}{H}}{1-0.7\dfrac{h}{H}}\right]_0^H =\dfrac{H}{1.4}\log\dfrac{1.7}{0.3}\approx\dfrac{10000}{1.4}\log 5.67=\dfrac{173500}{14}$ 秒 $\approx 12393$ 秒 $=3時間26分33秒$