[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1913年(大正2年)東京帝國大學工科大學-數學[3]

[3] Evaluate \displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin nt dt where n is an integer.

2019.03.07記

[3] n が整数のとき \displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin nt dt を求めよ。

n=0のとき\displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin nt dt=\int_{0}^{\pi} 0 dt=0
n\neq 0のとき\displaystyle \int_{0}^{\pi} t\sin nt dt=\left[\dfrac{-t\cos nt}{n}\right]_{0}^{\pi}+\dfrac{1}{n}\int_{0}^{\pi} t\cos nt dt =\dfrac{-\pi(-1)^n}{n}+\left[\dfrac{t\sin nt}{n^2}\right]_{0}^{\pi}=\dfrac{\pi(-1)^{n+1}}{n}