[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1947年(昭和22年)東京帝國大學農學部-數學[3]

2022.07.16記

[3] 次ノ積分ヲ行ヘ
\displaystyle\int \dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}


2022.07.17記

[解答]
I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^2}} とおくと
I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{2xdx}{x^2\sqrt{1-x^2}}
で x^2=t と置換すると
I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{dt}{t\sqrt{1-t}}
となる．さらに1-t=s^2 と置換すると
I=\displaystyle\int \dfrac{ds}{s^2-1}
=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{s-1}-\dfrac{1}{s+1}\right)ds
=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{s-1}{s+1}\right|
=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{\sqrt{1-x^2}-1}{\sqrt{1-x^2}+1}\right|
=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}．

これをさらに
I=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{(1-\sqrt{1-x^2})^2}{x^2}=\log\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{|x|}
と変形しても良い．