1947年(昭和22年)東京帝國大學工學部-數學[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.16記

[4] $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d\theta}{(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)^2}$ を求めよ．

2022.07.17記
$\cos^2\theta,\sin^2\theta$ からなる積分は $\tan\theta=t$ とおけば必ず有理関数の積分に帰着できる．

[解答]
$I=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d\theta}{(a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)^2}$ とおく．
$\tan\theta=t$ とおくと $\theta=\mbox{Arctan}\, t$ から $d\theta=\dfrac{dt}{1+t^2}$
であり， $\cos^2\theta=\dfrac{1}{1+t^2}$ ， $\sin^2\theta=\dfrac{t^2}{1+t^2}$ であるから，
$I=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{1+t^2}{(a^2+b^2t^2)^2}dt$
となる．
$t=\dfrac{a}{b}\tan\varphi$ とおくと $dt=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d\varphi}{\cos^2\varphi}$ であるから，
$I=\dfrac{1}{a^3b^3}\displaystyle\int_0^{\pi/2}\left(b^2\cos^2\varphi+a^2\sin^2\varphi\right)d\varphi$
$=\dfrac{1}{a^3b^3}\cdot\dfrac{\pi(b^2+a^2)}{4}$ $=\dfrac{\pi(b^2+a^2)}{4a^3b^3}$

$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^2\varphi \,d\varphi$ $=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2\varphi \,d\varphi$ $=\dfrac{\pi}{4}$ は常識