[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

2022.07.16記

[2] $y=a-b\sqrt[3]{x-c}$ ナル曲線ノ極大極小及ビ變曲點ニツキ調ベヨ．

2022.07.17記

[解答]
$y=a-b\sqrt[3]{x-c}$ により $x=c-\dfrac{(y-a)^3}{b^3}$
であり，これは $(c,a)$ を変曲点にもつ単調な3次関数だから，その逆関数も $(c,a)$ を変曲点にもつ単調な関数となる．

よって，極大，極小はもたず変曲点は $(c,a)$ ．

[別解]
$y'=-\dfrac{b}{3}(x-c)^{-2/3}$ は定符号だから極値はもたない．
$y''=\dfrac{2b}{9}(x-c)^{-5/3}$ は $x=c$ の前後で符号が変化するので変曲点である
(変曲点における接線は $x=c$ )．