1971年(昭和46年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.10.08記

[1] 変数 $t$ が $0$ から $\pi$ まで動くとき，
$x=2\cos \left( t-\dfrac{\pi}{6} \right) , \quad y=\cos \left( t+\dfrac{\pi}{3} \right)$
によってあらわされる点
$(x,y)$ と原点 $(0,0)$ との間の距離の最大値，最小値およびそれらをとる $t$ の値を求めよ．

[2] 正数 $x$ を与えて，
$2a_1=x, \quad 2a_2={a_1}^2+1, \quad \cdots, \quad 2a_{n+1}={a_n}^2+1, \quad \cdots$
のように数列 $\{ a_n \}$ を定めるとき，

(1) $x\neq 2$ ならば， $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_n\lt \cdots$ となることを証明せよ．

(2) $x\lt 2$ ならば， $a_n\lt 1$ となることを証明せよ．このとき，正数 $\varepsilon$ を $1-\dfrac{x}{2}$ より小となるようにとって， $a_1，a_2，\cdots，a_n$ までが $1-\varepsilon$ 以下となったとすれば，個数 $n$ について次の不等式が成り立つことを証明せよ．
$2-x>n{\varepsilon}^2$

[3] 与えられた実数係数の整式 $f(x)$ について
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx=2, \quad \int_{0}^{1} xf(x)\,dx=3$
となるとする．そのとき，
$\displaystyle \int_{0}^{1} \{ f(x)-ax-b \}^2 \,dx$
の値を最小にする実数 $a$ および $b$ の値を求めよ．

[4] $x$ の整式
$f_n(x)=1+\dfrac{x}{1 \, !}+\dfrac{x^2}{2 \, !}+\cdots+\dfrac{x^n}{n \, !}$ （ $n=1，2，\cdots$ ）
について
$f_n ' (x)=f_{n-1}(x)$ （ $n=2，3，\cdots$ ）
が成り立つことを証明せよ．