1971年(昭和46年)東京大学-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[6] 3人で‘ジャンケン’をして勝者をきめることにする．たとえば，1人が‘紙’を出し，他の2人が‘石’を出せば，ただ1回でちょうど1人の勝者がきまることになる．3人で‘ジャンケン’をして，負けた人は次の回に参加しないことにして，ちょうど1人の勝者がきまるまで‘ジャンケン’をくり返えすことにする．このとき， $k$ 回目に，はじめてちょうど1人の勝者がきまる確率を求めよ．

2021.10.08記
マルコフ過程

[解答]

$n$ 回目のジャンケンの後に3,2人である確率を $p_n,q_n$ とし、 $p_0=1,q_0=0$ とすると，
$p_n=\dfrac{1}{3}p_{n-1}$ …(i)，
$q_n=\dfrac{1}{3}p_{n-1}+\dfrac{1}{3}q_{n-1}$ …(ii)
が成立し，求める確率は
$\dfrac{1}{3}p_{k-1}+\dfrac{2}{3}q_{k-1}$
である．

(i) より $p_n=\dfrac{1}{3^{n}}$ だから
(ii) は $q_n=\dfrac{1}{3^n}+\dfrac{1}{3}q_{n-1}$ となり， $Q_n=3^nq_n$ とおくと
$Q_n=1+Q_{n-1}，Q_0=0$ から $Q_n=n$ ，つまり $q_n=\dfrac{n}{3^n}$ となる．
よって，求める確率は
$\dfrac{1}{3}p_{k-1}+\dfrac{2}{3}q_{k-1}=\dfrac{2k-1}{3^k}$
となる．

[大人の解答]

$n$ 回目のジャンケンの後に3,2人である確率を $p_n,q_n$ とし、 $p_0=1,q_0=0$ とすると，このマルコフ過程は
$\begin{pmatrix} p_n \\ q_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ 1/3 & 1/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p_{n-1} \\ q_{n-1} \end{pmatrix}$
と表現できる．この行列の固有値は $\dfrac{1}{3}$ で重解となるので
$p_n=\dfrac{\alpha n+\beta}{3^n}$ ， $q_n=\dfrac{\gamma n+\delta}{3^n}$
と表すことができる．
$p_0=1,p_1=\dfrac{1}{3}$ より $p_n=\dfrac{1}{3^n}$ ， $q_0=0,q_1=\dfrac{1}{3}$ より $q_n=\dfrac{n}{3^n}$ となるので，
求める確率は
$\dfrac{1}{3}p_{k-1}+\dfrac{2}{3}q_{k-1}=\dfrac{2k-1}{3^k}$
となる．

もちろん，2次の単位行列を $I$ として
$A=\begin{pmatrix} 1/3 & 0 \\ 1/3 & 1/3 \end{pmatrix}$ とおくと
$\left(A-\dfrac{1}{3}I\right)^2=O$ から
$A^n=\dfrac{n}{3^{n-1}}\left(A-\dfrac{1}{3}I\right)+\dfrac{1}{3^n}I$ $=\dfrac{n}{3^{n-1}}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1/3 & 0\end{pmatrix}+\dfrac{1}{3^n}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{3^n}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1\end{pmatrix}$
となるので，求める確率は
$\dfrac{1}{3}(1,2)\begin{pmatrix} p_{k-1} \\ q_{k-1} \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{3}(1,2)A^{k-1}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{3^k}(1,2)\begin{pmatrix} 1 \\ k-1 \end{pmatrix}$ $=\dfrac{2k-1}{3^k}$
となる，としても良い．