2025.10.13記 [4] 三角形 の内接円の半径を ，外接円の半径を とし， とする．また ，， とおく．(1) となることを示せ．(2) 三角形 が直角三角形のとき が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのような場合か．(3) 一般の三角形 に対して が成り…

2025.06.07記 [x] 正の実数 ，，，，， が関係式 （） をみたすとする．このとき，次の不等式を証明せよ．(1) （）(2) 本問のテーマ 相関係数，回帰直線 2025.06.07記 [解答] (1) 文字正により， で から であるから， である．(2) (1)により であるから，AM…

2025.04.10記 についての3次式 が次の等式をみたす． ， ， ， このとき の値を求めよ．本問のテーマ 因数を無理矢理作る 2025.04.06記 （）であるから，多項式の問題とするために （）と変形する． [解答] とおくと， は4次式であり で をみたすので と書け…

2025.04.06記 [x] の2つの解を ， とするとき，，， をみたすような2次式 は である．本問のテーマ 因数を無理矢理作る 2025.04.06記 [解答] 解と係数の関係により である．よって とおくと （）となるので， と書ける． により だから， となる．

2025.04.06記 [x] を ，， で割った余りがそれぞれ のときに を で割った余りを求めよ．（記憶に基づくので正確な問題文とは異なる）本問のテーマ 因数を無理矢理作る 2025.04.06記 [解答] に を代入すると となるので， と因数分解できる．よって を で割っ…

2025.04.04記 [x] (1) 等式 を示せ．(2) の自然数解 が無限組であることを示し， となる解を1組求めよ．本問のテーマ ペル方程式 ブラーマグプタの恒等式 ペル方程式 - 球面倶楽部 零八式 mark II2025.04.04記 (1)の恒等式をブラーマグプタの恒等式と呼ぶ． …

2025.04.03記 [x] ， は正の数で とする．また ， は整数で次の条件(イ)，(ロ)を満たしている．(イ) (ロ) ，， はこの順で等差数列をなす．このとき， と を求めよ．本問のテーマ ペル方程式 2025.04.03記 [解答] ，， とおくと であるから であり，条件(イ)…

2025.04.01記 [4] とする．次の問に答えよ．(1) 関数 の増減，極値，およびそのグラフの凹凸，変曲点，漸近線を調べよ．(2) を満たす実数 に対して， の最小値とそのときの の値を求めよ．本問のテーマ はみだし削り論法 今回は 2024年(令和6年)慶應義塾大学…

2025.04.01記 [3] 座標平面上に，楕円 （ ）がある．次の問に答えよ．(1) 点 を通る傾き の直線 を考える． であり，かつ が の接線であるとき， が満たす についての2次方程式を求めよ．(2) 条件「点 から へ互いに直交する2本の接線が引ける」を満たす点 …

2025.04.01記 [2] 連続する 日間の日程に対して散歩する日と散歩しない日を設定した予定表を作る．2日以上連続で散歩しない日は設定せず，1日目は必ずしも散歩する日とは限らないが， 日目は必ずしも散歩する日とする．このような予定表の作り方の総数を と…

2025.04.01記 [1](5) ， とし， ， に対して を の項の係数が1であるような 次関数とする． とおく． であるとき， であり， である．本問のテーマ ずらしルジャンドル多項式 1971年(昭和46年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR2025.…

2025.04.01記 [1](4) を を満たす実数とし， とする．このとき，関数 が で最大値 をとるならば であり， となる．2025.04.01記 [解答] であり，（）は「2×4の箱」から で最大値 をとるので， は のときに最大値 をとる． よって ， となる．

2025.04.01記 [1](3) とする． ， とおく．このとき であり， である．ただし，， であることを使ってもよい．本問のテーマ 幾何分布 2025.04.01記 成功確率が のベルヌーイ試行を繰り返すときに始めて成功するまでの試行回数 が従う確率分布を幾何分布とい…

2025.04.01記 [1](2) 正三角形 と，辺 を （ ）に内分する点 がある．正三角形 の外接円と直線 の交点のうち， と異なる点を とし，比 とする． のとき， であり， のとき， である．2025.04.01記 のときは，正三角形の高さと外接円の直径の比だから は暗算…

2025.04.01記 [1](1) 放物線 の焦点の座標は であり，準線の方程式は である．2025.04.01記 [解答] であるから，焦点の座標は であり，準線の方程式は である．放物線の式から焦点，準線の方程式の求め方を覚えていない場合は定義に従う（与えられた放物線の…

2025.04.01記 [1] 次の問題文の空欄 から にあてはまるものを解答欄に記入せよ．(1) 放物線 の焦点の座標は であり，準線の方程式は である．(2) 正三角形 と，辺 を （ ）に内分する点 がある．正三角形 の外接円と直線 の交点のうち， と異なる点を とし，…

2025.03.10記 [3] 座標平面において， で表される放物線を とする． 上の点 における の接線を とする．ただし，点 は 軸上にはないものとする． を原点とし，放物線 と線分 および 軸で囲まれた図形の面積を ，放物線 と接線 および 軸で囲まれた図形の面積…

2025.03.10記 [2] 次の条件によって定められる数列 がある． ， （ ）(1) 正の整数 に対して が成り立つことを示せ．(2) 正の整数 に対して が成り立つことを示せ．本問のテーマ 通常型母関数(2025.03.27) 一般二項定理(2025.03.27) ヴァンデルモンド(Vander…

2025年(令和7年)大阪大学-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR と同じ

2025.03.10記 [1] 平面上の三角形 を考える． は鋭角， ， とする．また，点 から直線 に下ろした垂線と直線 の交点を とし， とする．線分 を に内分する点を ，点 から直線 に下ろした垂線と直線 との交点を とする．(1) 内積 を を用いて表せ．(2) 線分 …

2025.03.10記 [5] 投げたときに表と裏の出る確率がそれぞれ のコインがある．A，B，Cの3文字をBACのように1個ずつすべて並べて得られる文字列に対して，コインを投げて次の操作を行う．・表が出たら文字列の左から1文字目と2文字目を入れかえる．・裏が出た…

2025.03.10記 [4] 次の問いに答えよ．(1) のとき が成り立つことを示せ．(2) を示せ．(3) とおく． を示せ．2025.03.10記 [解答] (1) のとき により が成立する．ここで より となる．(2) により が成立する． で ， であるから，はさみうちの原理により で …

2025.03.10記 [3] 座標空間に3点 ， ， がある． かつ を満たすように点 が動くとき， の最大値と最小値を求めよ．2025.03.10記 は円錐面と 平面の切り口である2次曲線上にある． [解答] ， であるから より が成立する．整理して となる（この楕円上の点は …

2025.03.10記 [2] と を実数とし，関数 は で極大値をとし， で極小値をとるとする．(1) を と を用いて表せ．(2) と が を満たしながら動くとき，曲線 の変曲点の軌跡を求めよ．2025.03.10記 [解答] (1) の2つの異なる実数解が （）であるから， の判別式 …

2025.03.10記 [1] 平面上の三角形 を考える． は鋭角， ， とする．また，点 から直線 に下ろした垂線と直線 の交点を とし， とする．線分 を に内分する点を ，点 から直線 に下ろした垂線と直線 との交点を とする．(1) 内積 を を用いて表せ．(2) 線分 …

2025.03.10記 [1] 平面上の三角形 を考える． は鋭角， ， とする．また，点 から直線 に下ろした垂線と直線 の交点を とし， とする．線分 を に内分する点を ，点 から直線 に下ろした垂線と直線 との交点を とする．(1) 内積 を を用いて表せ．(2) 線分 …

2025年(令和7年)九州大学前期-数学III[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に同じ

2025年(令和7年)九州大学前期-数学III[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR に同じ

2025.03.09記 [2] 半径1の円周 上の2点 は をみたすとする． 点 が円周 上を動くとき， の最大値を求めよ．2025.03.09記 [解答] 円の中心を ， の中点を とすると中線定理により である．ここで であり， であるから となるので となる．

2025.03.09記 [1] 2つの曲線 の両方に接するすべての直線の方程式を求めよ．2025.03.09記 [解答] の における接線の方程式は であり，これが に接するので の判別式は0となる．よって ， つまり となる．ここで の判別式は負だから となり，よって求める接線…