1973年(昭和48年)東京大学-数学(文科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.09記

[3] $4$ 角錐 $\mbox{V}$ - $\mbox{ABCD}$ があって，その底面 $\mbox{ABCD}$ は正方形であり，また $4$ 辺 $\mbox{VA}$ ， $\mbox{VB}$ ， $\mbox{VC}$ ， $\mbox{VD}$ の長さはすべて相等しい．この $4$ 角錐の頂点 $\mbox{V}$ から底面に下した垂線 $\mbox{VH}$ の長さは $6$ であり，底面の $1$ 辺の長さは $4\sqrt{3}$ である． $\mbox{VH}$ 上に $\mbox{VK}=4$ なる点 $\mbox{K}$ をとり，点 $\mbox{K}$ と底面の $1$ 辺 $\mbox{AB}$ とを含む平面で，この $4$ 角錐を $2$ つの部分に分けるとき，頂点 $\mbox{V}$ を含む部分の体積を求めよ．

2023.08.09記

[解答]
$\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{M}$ ， $\mbox{CD}$ の中点を $\mbox{N}$ とする．
三角形 $\mbox{VMN}$ の重心が $\mbox{K}$ であるから，底面の $1$ 辺 $\mbox{AB}$ とを含む平面と三角形 $\mbox{VMN}$ の交点は $\mbox{VN}$ の中点となり，よって $\mbox{VC}$ の中点， $\mbox{VD}$ の中点で交わる．

$4$ 角錐 $\mbox{V}$ - $\mbox{ABCD}$ を2つの $3$ 角錐 $\mbox{V}$ - $\mbox{ABD}$ と $3$ 角錐 $\mbox{V}$ - $\mbox{BCD}$ に分けることにより，

$4$ 角錐 $\mbox{V}$ - $\mbox{ABCD}$ の体積を $V$ とすると，求める体積は
$\dfrac{V}{2}\cdot1\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{V}{2}\cdot1\cdot1\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}V$
となる．ここで $V=\dfrac{1}{3}\cdot (4\sqrt{3})^2\cdot 6=96$ だから求める体積は $36$