[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1973年(昭和48年)東京大学-数学(文科)[2]

2023.08.09記

[2] 図において \mbox{AB}=2a とする．\mbox{AB} を直径とする半円周上に \mbox{P} があるとする．\mbox{P} から \mbox{AB} に下した垂線の足を \mbox{Q} とする．\triangle\mbox{APQ} を \mbox{AB} のまわりに回転してできる立体の体積の最大値を求めよ．

2023.08.09記

[解答]
\mbox{AQ}=x，\mbox{PQ}=y とおくと，方べきの定理により
x(2a-x)=y^2
が成立する．

立体の体積は \dfrac{\pi}{3}xy^2=\dfrac{\pi}{3}x^2(2a-x) であるが，AM-GM より
\dfrac{x^2y}{4}\leqq \left(\dfrac{(x/2)+(x/2)+(2a-x)}{3}\right)^3=\dfrac{8a^3}{27}
であるから，立体の体積の最大値は x=\dfrac{4a}{3} のとき
\dfrac{32a^3\pi}{81}