1964年(昭和39年)東京大学-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.04.23記

[1] $a$ ， $b$ ， $c$ を相異なる数， $x$ ， $y$ ， $z$ を連立方程式
$x+ay+a^2z=a^3, \quad x+by+b^2z=b^3, \quad x+cy+c^2z=c^3$
の根とするとき， $a^3+b^3+c^3$ を $x$ ， $y$ ， $z$ で表わせ．

[2] 平面上に2つの曲線 $y=x^2$ …(1)， $y=3x^2+24x+50$ …(2) がある．このとき1点 ${\rm P}$ をとり，曲線(1)の上の任意の点 ${\rm A}$ に対して，線分 ${\rm AP}$ を一定の比 $m:n(m\gt 0，n\gt 0)$ に内分する点 ${\rm B}$ が必ず曲線(2)の上にあるようにしたい．点 ${\rm P}$ の座標 $(\alpha,\beta)$ と比 $m:n$ の値とを求めよ．

[3] 点 ${\rm V}$ を頂点とし，正方形 ${\rm ABCD}$ を底面とする四角錐 ${\rm V}$ - ${\rm ABCD}$ があって，その $4$ つの側面はいずれも底辺 $20\mbox{cm}$ ，高さ $40\mbox{cm}$ の二等辺三角形である．辺 ${\rm VA}$ 上に ${\rm VP}:{\rm PA}=3:1$ なる点 ${\rm P}$ をとり，3点 ${\rm P}$ ， ${\rm B}$ ， ${\rm C}$ を通る平面でこの四角錐を切るとき，切り口の面積を求めよ．

[4] 4点 ${\rm A}_1(0,0)$ ， ${\rm A}_2(1,0)$ ， ${\rm A}_3(2,2)$ ， ${\rm A}_4(0,2)$ を頂点とする四辺形がある．この平面上に4点 ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$ ， ${\rm P}_4$ をとって，点 ${\rm P}_1$ は ${\rm P}_4{\rm A}_4$ の中点，点 ${\rm P}_2$ は ${\rm P}_1{\rm A}_1$ の中点，点 ${\rm P}_3$ は ${\rm P}_2{\rm A}_2$ の中点，点 ${\rm P}_4$ は ${\rm P}_3{\rm A}_3$ の中点となるようにする．

4点 ${\rm P}_1$ ， ${\rm P}_2$ ， ${\rm P}_3$ ， ${\rm P}_4$ の座標および四辺形 ${\rm P}_1{\rm P}_2{\rm P}_3{\rm P}_4$ の面積を求めよ．

[5] 曲線 $y=ax^3+bx^2+cx+d$ （ $a\neq 0$ ）と $y$ 軸との交点を ${\rm A}$ とする．この曲線上の点 ${\rm P}(x,y)$ における曲線の接線と $y$ 軸との交点を ${\rm Q}$ とするとき， $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{{{\rm AQ}}^2}{{{\rm AP}}^2}$ ， $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{{{\rm AQ}}^2}{{{\rm AP}}^2}$ を求めよ．