2023年(令和5年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.22記

[4] 半径1の球面上の相異なる4点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ が $\mbox{AB}=1$ ， $\mbox{AC}=\mbox{BC}$ ， $\mbox{AD}=\mbox{BD}$ ， $\cos\angle{\mbox{ACB}}=\cos\angle{\mbox{ADB}}=\dfrac{4}{5}$ を満たしているとする．

(1) 三角形 $\mbox{ABC}$ の面積を求めよ．

(2) 四面体 $\mbox{ABCD}$ の体積を求めよ．

2023.11.23記

[解答]
(1) $\mbox{AB}$ の中点を $\mbox{M}$ とおき， $\angle\mbox{ACM}=\theta$ とおくと， $\theta$ は鋭角で $\cos2\theta=\dfrac{4}{5}=2\cos^2\theta-1$ より
$\cos\theta=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ ， $\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$
となる．

よって $\tan\theta=\dfrac{1}{3}$ となり，
$\mbox{CM}=\dfrac{\mbox{AM}}{\tan\theta}=\dfrac{3}{2}$
となる．ゆえに
$\triangle\mbox{ABC}=\mbox{AM}\cdot\mbox{CM}=\dfrac{3}{4}$
となる．

(2) 球の中心を $\mbox{O}$ とすると，図形が平面 $\mbox{MCD}$ に関して対称であることから， $\mbox{O}$ は平面 $\mbox{MCD}$ 上にあり， $\triangle\mbox{MCD}$ は $\mbox{MC}=\mbox{MD}$ の二等辺三角形であるから， $\mbox{O}$ は $\triangle\mbox{MCD}$ の $\mbox{M}$ を通る中線上にある．この中線と $\mbox{CD}$ の交点は $\mbox{CD}$ の中点であり，これを $\mbox{N}$ とおく．

$\mbox{OM}=\sqrt{\mbox{OA}^2-\mbox{AM}^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
であり，
$\mbox{MN}^2-\mbox{ON}^2=\mbox{MD}^2-\mbox{DN}^2=\dfrac{5}{4}$
から
$\mbox{OM}(\mbox{OM}+2\mbox{ON})=\dfrac{5}{4}$ ，
つまり $\dfrac{\sqrt{3}}{2}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2\mbox{ON})=\dfrac{5}{4}$ から
$\mbox{ON}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
となる．

よって $\mbox{MN}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ ， $\mbox{ND}=\sqrt{1-\mbox{ON}^2}=\dfrac{\sqrt{33}}{6}$
となる．

以上から， $\triangle\mbox{MCD}=\mbox{MN}\cdot\mbox{ND}=\dfrac{\sqrt{11}}{3}$
となり，求める体積は
$\dfrac{1}{3}\cdot\triangle\mbox{MCD}\cdot\mbox{AB}=\dfrac{\sqrt{11}}{9}$
となる．

四面体の体積を6辺の長さから表す公式がある．
四面体の体積を求めるオイラーの公式 - 球面倶楽部零八式 mark II

それは対応する Cayley-Menger 行列の行列式の $\dfrac{1}{288}$ 倍の平方根が体積となるという公式である．

実は、四面体の外接球の半径を6辺の長さから表す公式がある．

四面体の外接球の半径を6辺の長さで表す - 球面倶楽部零八式 mark II

四面体 ${\rm O-ABC}$ において， ${\rm OA}=a$ ， ${\rm OB}=b$ ， ${\rm OC}=c$ ， ${\rm AB}=z$ ， ${\rm BC}=x$ ， ${\rm CA}=y$ とする．ここで $x，y，z$ は $a，b，c$ それぞれの対辺となっていることに注意．

このとき，四面体の外接球の半径は，四面体の（6辺の長さから計算できる）体積 $V$ を利用すると，
$R=\dfrac{1}{24V}\sqrt{(ax+by+cz)(-ax+by+cz)(ax-by+cz)(ax+by-cz)}$
が成立するというものである．本問の場合は
$a=\mbox{AD}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ ，
$b=\mbox{BD}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ ，
$c=\mbox{CD}$ ，
$x=\mbox{BC}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ ，
$y=\mbox{AC}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ ，
$z=\mbox{AB}=1$ ，
$R=1$
とおくと
$V=\dfrac{1}{24}\sqrt{(5+\mbox{CD})\cdot \mbox{CD}\cdot \mbox{CD}\cdot (5-\mbox{CD})}$ $=\dfrac{1}{24}\sqrt{(25-\mbox{CD}^2)\cdot \mbox{CD}^2}$
であるから， $\mbox{CD}$ が求まれば体積も求まる．