1987年(昭和62年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.08.29記

[4] 三つの実数 $x$ ， $y$ ， $z$ のうち最大の数を $\max(x,y,z)$ で表し，最小の数を $\min(x,y,z)$ で表す．いま，次の条件をみたす $x$ ， $y$ ， $z$ を座標とする点全体の集合を $\mbox{R}$ とする．

$x\geqq0, \quad y\geqq0, \quad z\geqq0$
$\max(x,y,z) \leqq a$
$x+y+z-\min(x,y,z) \leqq a+b$

$\mbox{R}$ の体積を求めよ．ただし， $a$ ， $b$ は定数で， $a\gt b\gt 0$ とする．

2020.09.28記

[解答]
$\mbox{max}\{x,y,z\}\leqq a$ は $x\leqq a$ かつ $y\leqq a$ かつ $z\leqq a$ と同じで
$(0,0,0)$ ， $(0,0,a)$ ， $(0,a,0)$ ， $(0,a,a)$ ， $(a,0,0)$ ， $(a,0,a)$ ， $(a,a,0)$ ， $a,a,a)$
を頂点とする立方体の内部を表す．

$x+y+z-\mbox{min}\{x,y,z\}\leqq a+b$ は
$y+z\leqq a+b$ かつ $x+z\leqq a+b$ かつ $x+y\leqq a+b$
と同じである．

この立体を，1辺が $\dfrac{a+b}{2}$ の立方体と 3つの円錐台に分けて体積を求める．

1つの円錐台の体積は，三角錐の差を考えて $\dfrac{1}{3}\Bigl\{\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)^3-b^3\Bigr\}$ となるので，求める体積は
$\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)^3+3\cdot \dfrac{1}{3}\Bigl\{\Bigl(\dfrac{a+b}{2}\Bigr)^3-b^3\Bigr\}$
$=\dfrac{(a+b)^3}{4}-b^3=\dfrac{a^3+3a^2b＋3ab^2-3b^3}{4}$
となる．

2023.08.30記
対称性に注意して $z=t$ で切ってみる．

[解答]
不等式は $x,y,z$ に関して対称なので， $x\geqq y\geqq z$ をみたす部分の体積を求めて6倍すれば良い．

$x\geqq y\geqq z$ をみたす部分は

$a\geqq x\geqq y\geqq z\geqq0$ ， $x+y \leqq a+b$

である．これを $z=t$ で切った断面について考える．ここで
$a\geqq x\geqq y\geqq0$ ， $x+y \leqq a+b$
をみたす範囲は $(0,0)$ ， $(a,0)$ ， $(a,b)$ ， $\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)$ を頂点とする四角形の周または内部である．

(i) $0\leqq t\leqq b$ のとき
$(t,t)$ ， $(a,t)$ ， $(a,b)$ ， $\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)$ を頂点とする四角形の周または内部であるから，その面積は
$\left(\dfrac{a+b}{2}-t\right)^2-\dfrac{1}{2}(b-t)^2$
となる．

(ii) $b\leqq t\leqq\dfrac{a+b}{2}$ のとき
$(t,t)$ ， $(a,t)$ ， $\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a+b}{2}\right)$ を頂点とする直角2等辺三角形の周または内部であるから，その面積は
$\left(\dfrac{a+b}{2}-t\right)^2$
となる．

よって求める体積は
$6\displaystyle\int_0^b \left\{ \left(\dfrac{a+b}{2}-t\right)^2-\dfrac{1}{2}(b-t)^2 \right\}dt$ $+6\displaystyle\int_b^{\frac{a+b}{2}} \left(\dfrac{a+b}{2}-t\right)^2 dt$
$=6\displaystyle\int_0^{\frac{a+b}{2}} \left(\dfrac{a+b}{2}-t\right)^2dt$ $-3\displaystyle\int_0^{b} (b-t)^2 dt$
$=2 \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3-b^3$ $=\dfrac{(a+b)^3}{4}-b^3=\dfrac{a^3+3a^2b＋3ab^2-3b^3}{4}$

今度は $x=u$ で切ってみる．

[解答]
不等式は $x,y,z$ に関して対称なので， $x\geqq y\geqq z$ をみたす部分の体積を求めて6倍すれば良い．

$x\geqq y\geqq z$ をみたす部分は

$a\geqq x\geqq y\geqq z\geqq0$ ， $x+y \leqq a+b$

である．これを $x=u$ （ $0\leqq u\leqq a$ ）で切った断面は
$u\geqq y\geqq z\geqq0$ ， $u+y \leqq a+b$ ，
つまり
$\min\{u,a+b-u\} \geqq y\geqq z\geqq0$
となる．この不等式がみたす範囲は
平面 $x=u$ 上で $(y,z)$ が $(0,0)$ ， $(\min\{u,a+b-u\},0)$ ， $(\min\{u,a+b-u\},\min\{u,a+b-u\})$ を3頂点とする直角2等辺三角形の周または内部である．

(i) $0\leqq u\leqq \dfrac{a+b}{2}$ のとき
$\min\{u,a+b-u\}=u$ だから断面積は $\dfrac{1}{2}u^2$ となる．

(ii) $\dfrac{a+b}{2}\leqq a$ のとき
$\min\{u,a+b-u\}=a+b-u$ だから断面積は $\dfrac{1}{2}(a+b-u)^2$ となる．

よって求める体積は
$6\displaystyle\int_0^{(a+b)/2} \dfrac{1}{2}u^2 du$ $+6\displaystyle\int_{(a+b)/2}^a \dfrac{1}{2}(a+b-u)^2 du$
$=\Bigl[ u^3 \Bigr]_0^{(a+b)/2}$ $-\Bigl[ (a+b-u)^3 \Bigr]_{(a+b)/2}^a$
$=\dfrac{(a+b)^3}{4}-b^3=\dfrac{a^3+3a^2b＋3ab^2-3b^3}{4}$