2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

問題：2015年(平成27年)東京大学前期-数学(理科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

本問のテーマ

2020.09.16記

[解答]
(1) $\displaystyle \int_{-1}^1 g(x) dx=1$ であるから、
$\displaystyle n\int_{-1/n}^{1/n} g(nx) dx=1$ である．

この区間外では $g(nx)=0$ だから、
$p=\displaystyle p n\int_{-1/n}^{1/n} g(nx) dx$ $=\displaystyle p n\int_{-1}^{1} g(nx) dx$ $\leqq \displaystyle n\int_{-1}^{1} g(nx) f(x) dx$ $\leqq \displaystyle q n\int_{-1}^{1} g(nx) dx$ $=\displaystyle q n\int_{-1/n}^{1/n} g(nx) dx=q$
が成立する．

[大人の解答]
(2) $h(x)=g'(x)$ である．

極限と積分の順序の交換を認めると，
$n\cdot g(nx)\to \delta (x)$ （ディラックのデルタ関数）
であり，
$n^2\cdot h(nx)\to \delta' (x)$
である．

一方，
$\displaystyle\int \delta (x) f(x) dx=f(0)$
が成立する．これの左辺を部分積分すると $\displaystyle\int f(x) dx = F(x)$ として
$\Bigl[ \delta (x) F(x)\Bigr]_{-\infty}^{\infty}-\displaystyle\int \delta'(x) F(x) dx$
$=-\displaystyle\int \delta'(x) F(x) dx$
が成立する．これから
$\displaystyle\int \delta'(x) F(x) dx=-f(0)$
という関係が成立している．

よって，
$n^2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} h(nx) \log (1+e^{x+1}) dx$ $\to -\dfrac{d}{dx}\{\log (1+e^{x+1}) \}\Bigm|_{x=0}$ $=-\dfrac{e^{x+1}}{1+e^{x+1}}\Bigm|_{x=0}$ $=-\dfrac{e}{1+e}$