1916年(大正5年)東京帝國大學工科大學-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] Find the rate of increase of (i) the volume and (ii) the area of curved surface of a right circular cone whose height is 12 inches and diameter of the base 8 inches, and each is increasing at the rate of $\dfrac{1}{4}$ inch per. second.

2020.03.05記

[3] 直円錐の高さおよび直径が秒速 $\dfrac{1}{4}$ インチで増加するとき、高さが12インチ、底面の直径が8インチの時点での (i) 体積および (ii) 側面積の増加率を求めよ。

2020.03.05記

[解答]
直円錐の高さを $h(t)$ 、半径を $r(t)$ 、体積を $V(t)$ 、側面積を $S(t)$ とする。
$V=\dfrac{\pi r^2 h}{3},\,S=\pi r\sqrt{r^2+h^2}$
であるから、
$\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{2\pi r h}{3}\dfrac{dr}{dt}+\dfrac{\pi r^2}{3}\dfrac{dh}{dt}$
$\dfrac{dS}{dt}=\pi \left(\sqrt{r^2+h^2}+\dfrac{r^2}{\sqrt{r^2+h^2}}\right)\dfrac{dr}{dt}+\pi \dfrac{rh}{\sqrt{r^2+h^2}}\dfrac{dh}{dt}$
が成立する。

$h=12,\,r=4,\,\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{8},\,\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{1}{4}$ を代入して $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{16\pi}{3},\,\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{17\pi}{2\sqrt{10}}$

つまり体積の増加率は $\dfrac{16\pi}{3}$ 立方インチ毎秒、側面積の増加率は $\dfrac{17\pi}{2\sqrt{10}}$ 平方インチ毎秒