2020年(令和2年)東京大学-数学(理科)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.14記

[5] 座標空間において， $xy$ 平面上の原点を中心とする半径1の円を考える．この円を底面とし，点 $(0, \, 0, \, 2)$ を頂点とする円錐（内部を含む）を $S$ とする．また，点 $\mbox{A}(1, \, 0, \, 2)$ を考える．

(1) 点 $\rm P$ が $S$ の底面を動くとき，線分 $\rm AP$ が通過する部分を $T$ とする．平面 $z=1$ による $S$ の切り口および，平面 $z=1$ による $T$ の切り口を同一平面上に図示せよ．

(2) 点 $\rm P$ が $S$ を動くとき，線分 $\rm AP$ が通過する部分の体積を求めよ．

2020.02.26記

[解答]
(1)は略

(2) $z=t$ による切口は，半径 $\dfrac{2-t}{2}$ の円を中心が $(0,0)$ から $(\dfrac{t}{2},0)$ まで動かしたものだから，
その断面積は $\pi \dfrac{(2-t)^2}{4}+\dfrac{t}{2}\times(2-t)$ となる．よってこれを $t$ が0から2まで積分して
$\pi\times \dfrac{2^3}{3\times 4}+\dfrac{2^3}{6\times 2}=\dfrac{2\pi}{3}+\dfrac{2}{3}$
となる．

この程度は暗算レベル．

2020.03.02記

[解答]
半径 $\dfrac{2-t}{2}$ の円を中心が $(0,0)$ から $(\dfrac{t}{2},0)$ まで動かしたものだから，
その断面積は $\pi \dfrac{(2-t)^2}{4}+\dfrac{t}{2}\times(2-t)$ となるので，
第1項の部分は円錐の切口、第2項は四面体の切口となる．
第1項がなす円錐は底面が単位円で高さが2の円錐だから体積は $\dfrac{2}{3}\pi$ となり，
第2項は対角線が直交し長さが2,1の菱形を底面とし高さが2の四角柱の中にある四面体だから，
その体積は $\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2\cdot 1}{2}\cdot 2=\dfrac{2}{3}$ となる．
よって求める体積はこれらの合計で $\dfrac{2(\pi+1)}{3}$ となる．

2022.04.21記

たとえ大学受験で不要だとしても，こういうことに気づけると，数学の勉強が楽しいものになると思うんです。 pic.twitter.com/lvrBjgetEr
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そだね。