[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1984年(昭和59年)東京大学-数学(理科)[4]

2023.08.25記

[4] 空間内に，3 点 \mbox{P}\left(1,\dfrac{1}{2},0\right)，\mbox{Q}\left(1,-\dfrac{1}{2},0\right)，
\mbox{R}\left(\dfrac{1}{4},0,\dfrac{\sqrt3}{4}\right) を頂点とする正3角形の板 S がある．S を z 軸のまわりに 1 回転させたとき，S が通過する点全体のつくる立体の体積を求めよ．

2020.11.28記

[大人の解答]
三角形を yz 平面に正射影したあとに回転した円錐の体積と同じであるから，求める体積は \dfrac{\pi}{3} \Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}\pi}{48}

まぁ、z=t で切った断面積が \dfrac{4\pi}{3}\Bigl(\dfrac{\sqrt{3}}{4}-t\Bigr)^2 となって，円錐の断面と同じになるからカヴァリエリから言えるという訳だ．