2024年(令和6年)立命館大学2月2日-理系数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 図のように，同一直線上にない3点 $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を平面にとり， $\triangle\mbox{OAB}$ を考える．ただし， $|\overrightarrow{\mbox{OB}}|=1$ ， $|\overrightarrow{\mbox{OA}}|=p$ ， $p\lt 1$ とする． $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\overrightarrow{b}$ とおく．線分 $\mbox{AB}$ を $p^2:(1+p^2)$ に外分する点を $\mbox{A}_1$ とする．さらに，点 $\mbox{O}_1$ を $\overrightarrow{\mbox{OO}_1}=\overrightarrow{\mbox{OA}_1}-p^2\overrightarrow{a}$ を満たすようにとる．

(1) $\overrightarrow{\mbox{OA}_1}$ を $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ を用いて表すと， $\fbox{　　ア　　}$ となり， $\overrightarrow{\mbox{O}_1\mbox{A}}$ を $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ を用いて表すと， $\fbox{　　イ　　}$ となる．ゆえに， $\triangle\mbox{OAB}$ と $\triangle\mbox{O}_1\mbox{A}_1\mbox{A}$ は相似であり， $\triangle\mbox{O}_1\mbox{A}_1\mbox{A}$ の面積は $\triangle\mbox{OAB}$ の面積の $\fbox{　　ウ　　}$ 倍である．

(2) 同様に $\triangle\mbox{O}_1\mbox{A}_1\mbox{A}$ に対して線分 $\mbox{A}_1\mbox{A}$ を $p^2:(1+p^2)$ に外分する点 $\mbox{A}_2$ をとり，さらに点 $\mbox{O}_2$ を $\overrightarrow{\mbox{O}_1\mbox{O}_2}=\overrightarrow{\mbox{O}_1\mbox{A}_2}-p^2\overrightarrow{\mbox{O}_1\mbox{A}_1}$ を満たすようにとる．このとき， $\overrightarrow{\mbox{OO}_2}$ を $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ を用いて表すと， $\fbox{　　エ　　}$ となることから， $\mbox{O}$ ， $\mbox{O}_1$ ， $\mbox{O}_2$ は同一直線上にあることがわかる．この操作を続けて， $n=3，4，…$ について
$\triangle\mbox{O}_{n-1}\mbox{A}_{n-1}\mbox{A}_{n-2}$ から点 $\mbox{A}_n$ ，点 $\mbox{O}_n$ を順に定める．直線 $\mbox{AB}$ と直線 $\mbox{OO}_1$ の交点を $\mbox{D}$ とする． $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|\overrightarrow{\mbox{A}_n\mbox{D}}|$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}|\overrightarrow{\mbox{O}_n\mbox{D}}|$ $=0$ を用いると $|\overrightarrow{\mbox{BD}}|$ $=\fbox{　　オ　　}|\overrightarrow{\mbox{BD}}|$ かつ $|\overrightarrow{\mbox{OD}}|$ $=\fbox{　　カ　　}|\overrightarrow{\mbox{OO}_1}|$ が成り立つことが分かる．

(3) $\angle\mbox{AOB}=90^{\circ}$ とする．このとき，上で定めた $\mbox{D}$ に対して， $\mbox{O}$ を通る $\mbox{OD}$ の垂線を引き， $\mbox{ AB}$ との交点を $\mbox{E}$ とおく．このとき，
$\overrightarrow{\mbox{OE}}$ を $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ を用いて表すと， $\fbox{　　キ　　}$ となる．ゆえに，
$\dfrac{|\overrightarrow{\mbox{OD}}|}{|\overrightarrow{\mbox{ED}}|}$ を $p$ で表すと， $\fbox{　　ク　　}$ となる．

本問のテーマ

ピタゴラスの定理の2023年に示された新証明

2024.02.24記
ピタゴラスの定理の2023年に示された新証明
gigazine.net
を説明した問題である．

(ア) $(1+p^2)\overrightarrow{a}-p^2\overrightarrow{b}$
(イ) $p^2\overrightarrow{b}$
(ウ) $p^4$
(エ) $(1+p^2)\overrightarrow{a}-p^2(1+p^2)\overrightarrow{b}$
(オ) $\dfrac{1}{1-p^2}$
(カ) $\dfrac{1}{1-p^2}$
(キ) $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$
(ク) $\dfrac{2p}{1+p^2}$

ここで $\dfrac{2p}{1+p^2}=\sin\angle\mbox{OED}$ である．

一方，簡単な角度の計算により $\triangle\mbox{OAE}$ が $\mbox{EA}=\mbox{EO}$ の2等辺三角形であり，よって $\mbox{E}$ が $\mbox{AB}$ の中点であることに注意すると， $\triangle\mbox{OAE}$ に適用した正弦定理
$\dfrac{\rm OA}{\sin\angle\mbox{OEA}}$ $=\dfrac{\rm OE}{\sin\angle\mbox{OAE}}$
は，
$\angle\mbox{OEA}＝\angle\mbox{OED}$ ，
$\sin\angle\mbox{OAE}=\dfrac{\mbox{OB}}{\mbox{AB}}$ ，
$\mbox{OE}=\dfrac{1}{2}\mbox{AB}$
を用いて整理することにより
$\sin\angle\mbox{OED} =\dfrac{2\cdot \mbox{OA}\cdot \mbox{OB}}{\mbox{AB}^2}$
と変形できる．よって(ク)より
$\dfrac{2\cdot \mbox{OA}\cdot \mbox{OB}}{\mbox{AB}^2}=\dfrac{2p}{1+p^2}$ $=\dfrac{2\cdot \mbox{OA}\cdot \mbox{OB}}{\mbox{OA}^2+\mbox{OB}^2}$
が成立する．よって
$\mbox{AB}^2=\mbox{OA}^2+\mbox{OB}^2$
となる．

という感じでピタゴラスの定理が証明されることになる．