2023年(令和5年)大阪大学-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2023.11.26記

[4] $a$ ， $b$ を $a^2+b^2\gt 1$ かつ $b \neq 0$ をみたす実数の定数とする．座標空間の点 $\mbox{A}(a，0，b)$ と点 $\mbox{P}(x，y，0)$ をとる．点 $\mbox{O}(0，0，0)$ を通り直線 $\mbox{AP}$ と垂直な平面を $\alpha$ とし，平面 $\alpha$ と直線 $\mbox{AP}$ との交点を $\mbox{Q}$ とする．

(1) ${(\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AO}})}^2= {|\overrightarrow{\mbox{AP}}|}^2{|\overrightarrow{\mbox{AQ}}|}^2$ が成り立つことを示せ．
(2) $|\overrightarrow{\mbox{OQ}}|=1$ をみたすように点 $\mbox{P}(x，y，0)$ が $xy$ 平面上を動くとき，点 $\mbox{P}$ の軌跡を求めよ．

円錐曲線（円錐の平面による切断）

2023.11.26記
$\sin\angle\mbox{OAP}$ $=\sin\angle\mbox{OAQ}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(\lt 1)$ で一定であるから，直線 $\mbox{AP}$ は $\mbox{A}$ と頂点とする円錐面を描く．よって $\mbox{P}$ は円錐面と $xy$ 平面の交線である2次曲線となる．どの2次曲線になるかは， $\mbox{OA}$ と $xy$ 平面のなす角度と $\sin\angle\mbox{OAP}$ のなす角度の大小によって決まる．

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ は，法線ベクトルが $\overrightarrow{\mbox{AP}}$ である平面 $\alpha$ に含まれるベクトルであるから， $\overrightarrow{\mbox{AP}}\perp\overrightarrow{\mbox{OQ}}$ となる．よって
$\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AO}}$ $=\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot(\overrightarrow{\mbox{AQ}}+\overrightarrow{\mbox{QO}})$ $=\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AQ}}$
が成立する．ここで $\overrightarrow{\mbox{AP}}\parallel \overrightarrow{\mbox{AQ}}$ であるから， $\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AQ}}$ $=\pm|\overrightarrow{\mbox{AP}}|\,|\overrightarrow{\mbox{AQ}}|$ となり，よって
${(\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AO}})}^2= {|\overrightarrow{\mbox{AP}}|}^2{|\overrightarrow{\mbox{AQ}}|}^2$ が成り立つ．

(2) $\angle\mbox{OQA}=\dfrac{\pi}{2}$ によりピタゴラスの定理から
${|\overrightarrow{\mbox{AQ}}|}^2$ $={|\overrightarrow{\mbox{AO}}|}^2-1$
が成立するので，(1) より
${(\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AO}})}^2$ $={|\overrightarrow{\mbox{AP}}|}^2\left({|\overrightarrow{\mbox{AO}}|}^2-1\right)$
が成り立つ．よって座標を代入して
$\{(x-a)(-a)+y\cdot 0+(-b)(-b)\}^2$ $=\{(x-a)^2+y^2+b^2\}(a^2+b^2-1)$
となる．整理して
$(b^2-1)x^2+2ax+(a^2+b^2-1)y^2=a^2+b^2$
となる．

(i) $b=\pm 1$ のとき，
$2ax+a^2y^2=a^2+1$
であるが， $a^2\gt b^2-1=0$ より $a\neq 0$ となるので，
放物線 $x=-\dfrac{a}{2}y^2+\dfrac{a^2+1}{2a}$

(ii) $b\neq \pm 1$ のとき，
$(b^2-1)\left(x+\dfrac{a}{b^2-1}\right)^2+(a^2+b^2-1)y^2$ $=a^2+b^2+\dfrac{a^2}{(b^2-1)^2}(\gt 0)$
であり， $b^2-1\neq 0$ ， $a^2+b^2-1\gt 0$ に注意すると，この曲線は

(a) $|b|\gt 1$ のとき楕円

(b) $|b|\lt 1$ のとき双曲線

となる．

誘導がないとすれば， $\angle\mbox{OAQ}=\theta$ とおくと，
$\sin\theta=\dfrac{\mbox{OQ}}{\mbox{OA}}=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}$
であり， $\angle\mbox{OAP}=\theta$ でもあるから，
$\cos^2\theta$ $=\dfrac{{(\overrightarrow{\mbox{AP}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AO}})}^2}{{|\overrightarrow{\mbox{AP}}|}^2{|\overrightarrow{\mbox{AO}}|}^2}$
が成立する．よって $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ より
$\dfrac{a^2+b^2-1}{a^2+b^2}=\dfrac{\{(x-a)(-a)+y\cdot 0+(-b)(-b)\}^2}{\{(x-a)^2+y^2+b^2\}(a^2+b^2)}$
を導けば良い．