2024年(令和6年)京都大学理学部特色入試・数理科学入試-数学[3]

2024.02.29記

[3] 座標平面上の円 $D_1=x^2+y^2=64$ と円 $D_2=x^2+(y-4)^2=9$ に関して，以下の設問に答えよ．

(1) 座標平面上の3点 $(0,8)$ ， $(3\sqrt{7},1)$ ， $(-3\sqrt{7},1)$ を頂点とする三角形の外接円は $D_1$ であり，内接円は $D_2$ であることを示せ．

(2) $D_1$ が外接円であり，さらに $D_2$ が内接円である任意の三角形 $\triangle\mbox{ABC}$ に対して，実数 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ を
$\alpha=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{BC}$ ，
$\beta=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{CA}$ ，
$\gamma=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}-\mbox{AB}$
と定める．このとき $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=105$ が成り立つことを示せ．

本問のテーマ

ポンスレの定理
ヘロンの公式

2024.03.01記
(1) より， $D_1$ 上の任意の点 $A$ から $D_2$ に接線を引き，その接線と $D_1$ の交点を $B$ とし， $B$ から $D_2$ に接線を引き，その接線と $D_1$ の交点を $C$ とすると， $C$ から $D_2$ に接線を引くと，その接線と $D_1$ の交点は $A$ に戻るというのがポンスレの定理である．本問を解くには不要の知識ではある．

$\alpha$ などを見てヘロンの公式を思い浮べないとね．

[解答]
(1) $\mbox{O}(0,0)$ ， $\mbox{P}(0,8)$ ， $\mbox{Q}(3\sqrt{7},1)$ ， $\mbox{R}(-3\sqrt{7},1)$ とおくと
$\mbox{OP}^2=\mbox{OQ}^2=\mbox{OR}^2=64$
と等しいので， $\triangle\rm PQR$ の外接円は $D_1$ である．

直線 $\mbox{PQ}:\sqrt{7}x+3y-24=0$ と $(0,4)$ の距離は $\dfrac{12}{\sqrt{16}}=3$ ，
直線 $\mbox{PR}:-\sqrt{7}x+3y-24=0$ と $(0,4)$ の距離は $\dfrac{12}{\sqrt{16}}=3$ ，
直線 $\mbox{QR}:y=1$ と $(0,4)$ の距離は $3$
と等しいので， $\triangle\rm PQR$ の内接円は $D_2$ である．

(2) $c=\mbox{AB}=\alpha+\beta$ ， $a=\mbox{BC}=\beta+\gamma$ ， $b=\mbox{CA}=\gamma+\alpha$ ， $s=\dfrac{\mbox{AB}+\mbox{BC}+\mbox{CA}}{2}=\alpha+\beta+\gamma$ ， $\triangle\mbox{ABC}$ の面積を $S$ とおく．

ヘロンの公式により $S=\sqrt{s\alpha\beta\gamma}$ である．

内接円と面積の関係により $S=s\cdot 3$ である．

外接円と面積の関係により $S=\dfrac{abc}{4\cdot 8}$ である．

よって
$S^2=s\alpha\beta\gamma=9s^2$ ，
$S=3s=\dfrac{abc}{4\cdot 8}$ ，
つまり
$\alpha\beta\gamma=9(\alpha+\beta+\gamma)$ ，
$96(\alpha+\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$
が成立する．

ここで
$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)+\alpha\beta\gamma$ $=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$
に注意すると
$(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$ $=96(\alpha+\beta+\gamma)+9(\alpha+\beta+\gamma)$ $=105(\alpha+\beta+\gamma)$
となり， $\alpha+\beta+\gamma\neq 0$ から
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=105$
となる．