1996年(平成8年)東京大学前期-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.01.14記

[4] $1$ つのサイコロを続けて投げて，それによって $a_n$ （ $n=1$ ， $2$ ，…）を以下のように定める．

出た目の数を順に $c_1$ ， $c_2$ ，… とするとき， $1\leqq k\leqq n-1$ を満たすすべての整数 $k$ に対し $c_k\leqq c_n$ ならば $a_n=c_n$ それ以外のとき $a_n=0$ とおく．ただし， $a_1=c_1$ とする．

(1) $a_n$ の期待値を $E(n)$ とするとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} E(n)$ を求めよ．

(2) $a_1$ ， $a_2$ ，…， $a_n$ のうち $2$ に等しいものの個数の期待値を $N(n)$ とするとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty} N(n)$ を求めよ．

本問のテーマ

成功回数の期待値

2021.01.20記

[解答]
(1) $a_n=k$ となる確率は $\dfrac{1}{6}\Bigl(\dfrac{k}{6}\Bigr)^{n-1}$ だから
$E(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^6 \Bigl(\dfrac{k}{6}\Bigr)^{n}$ $=1+\displaystyle\sum_{k=1}^5 \Bigl(\dfrac{k}{6}\Bigr)^{n}\to 1$ （ $n\to\infty$ ）

(2) $a_n=2$ となる確率は $\dfrac{1}{6}\Bigl(\dfrac{1}{3}\Bigr)^{n-1}$ だから
$a_n=2$ となる回数の期待値は
$N(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{6}\Bigl(\dfrac{1}{3}\Bigr)^{i-1}$ $\to\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{4}$ （ $n\to\infty$ ）