2024年(令和6年)東京大学-数学(理科)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.28記

[3] 座標平面上を次の規則(i)，(ii)に従って1秒ごとに動く点 $P$ を考える．

(i) 最初に， $\mbox{P}$ は点 $(2, 1)$ にいる．

(ii) ある時刻で $\mbox{P}$ が点 $(a, b)$ にいるとき，その 1 秒後には $\mbox{P}$ は

$\bullet$ 確率 $\dfrac{1}{3}$ で $x$ 軸に関して $(a, b)$ と対称な点
$\bullet$ 確率 $\dfrac{1}{3}$ で $y$ 軸に関して $(a, b)$ と対称な点
$\bullet$ 確率 $\dfrac{1}{6}$ で $y=x$ 軸に関して $(a, b)$ と対称な点
$\bullet$ 確率 $\dfrac{1}{6}$ で $y=-x$ 軸に関して $(a, b)$ と対称な点

にいる．以下の問いに答えよ．ただし，(1)については，結論のみを書けばよい．

(1) $\mbox{P}$ がとりうる点の座標をすべて求めよ．

(2) $n$ を正の整数とする．最初から $n$ 秒後に $\mbox{P}$ が点 $(2, 1)$ にいる確率と，最初から $n$ 秒後に $\mbox{P}$ が点 $(-2,-1)$ にいる確率は等しいことを示せ．

(3) $n$ を正の整数とする．最初から $n$ 秒後に $\mbox{P}$ が点 $(2, 1)$ にいる確率を求めよ．

本問のテーマ

折り返しの合成は回転
二面体群 $D_8$
マルコフ過程

2024.02.25記
通常は二面体群は正多角形で表現することが多いが，本問のような多角形で表現することも可能である．というのも，二面体群は回転と折り返しのなす群となるので正多角形でなくても，その群の要素で変換しても自分自身に移る多角形が存在することもあるからである．

[解答]
(1) $(2，1)$ ， $(-2，1)$ ， $(-2，-1)$ ， $(2，-1)$ ， $(1，2)$ ， $(-1，2)$ ， $(-1，-2)$ ， $(1，-2)$ の8つ

(2) 4つの変換を順番に a,b,c,d とする．
最後に a で $(2,1)$ に移った場合，その最後を b とすると $(-2,-1)$ に移り，
最後に b で $(2,1)$ に移った場合，その最後を a とすると $(-2,-1)$ に移り，
最後に c で $(2,1)$ に移った場合，その最後を d とすると $(-2,-1)$ に移り，
最後に d で $(2,1)$ に移った場合，その最後を c とすると $(-2,-1)$ に移る．

よってそれぞれの確率は等しい．

(3) $\rm A(2，1)$ ， $\rm B(1，2)$ ， $\rm C(-1，2)$ ， $\rm D(-2，1)$ ， $\rm E(-2，-1)$ ， $\rm F(-1，-2)$ ， $\rm G(1，-2)$ ， $\rm H(2，-1)$ とおくと， $\rm A，C，E，G$ の次は $\rm B，D，F，H$ のいずれかで， $\rm B，D，F，H$ の次は $\rm A，C，E，G$ のいずれかだから，n が奇数のときの確率は 0 となる．

偶数回の場合は，折り返し2回で回転だから，2回後に移動量は
0度回転される確率 $\dfrac{10}{36}$ ，
90度回転される確率 $\dfrac{8}{36}$ ，
180度回転される確率 $\dfrac{10}{36}$ ，
270度回転される確率 $\dfrac{8}{36}$ ，
となる．ここで(2) より $2k$ 回後に $\rm A，E$ である確率は等しく合計を $q_k$ ，同様に $2k$ 回後に $\rm C，G$ である確率は等しく合計を $r_k$ とおくと
$q_{k+1}=\dfrac{5}{9}q_k+\dfrac{4}{9}r_k$ $=\dfrac{5}{9}q_k+\dfrac{4}{9}(1-q_k)$ $=\dfrac{1}{9}q_k+\dfrac{4}{9}$
から
$q_{k+1}-\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{9}\left(q_k-\dfrac{1}{2}\right)$
となり， $q_0=1$ から
$q_k=\dfrac{1}{2\cdot 9^{k}}+\dfrac{1}{2}$
となるので求める確率はこの半分となる．

以上により，求める確率は $n$ が奇数のとき $0$ ，偶数のとき $\dfrac{1}{4\cdot 3^{n}}+\dfrac{1}{4}$ となる．

2024.02.28記

[大人の解答]
(3) 4つの変換を順番に a,b,c,d とする． $x$ 軸に関する折り返しを $f$ ， $\dfrac{\pi}{4}$ 回転を $r$ で表すと

aは $f$ （確率 $\dfrac{1}{3}$ ），
bは $r^4f=fr^4$ （確率 $\dfrac{1}{3}$ ），
cは $r^2f=fr^6$ （確率 $\dfrac{1}{6}$ ），
dは $r^6f=fr^2$ （確率 $\dfrac{1}{6}$ ），

という変換に対応する．ここで180度回転させたものを同一視すると（(2)と同様にそれぞれの場所にある確率は等しいので，どちらかに居る確率は2倍になる），a と b は同じ変換，c と d は同じ変換となり，

a または bは $f=r^4f=fr^4$ （確率 $\dfrac{2}{3}$ ），
c または d は $r^2f=fr^6=r^6f=fr^2$ （確率 $\dfrac{1}{3}$ ），

という変換になる．ここで $f$ と $r$ は積について交換可能ではなかったのだが，この同一視（ $r^4$ の違いは無視する）によって $f$ と $r$ を積について交換しても構わなくなった．

よって，変換を $n$ 回行ったときのどの合成変換になるかの確率は
$\dfrac{(2f+r^2f)^n}{3^n}$ $=\dfrac{f^n(2+r^2)^n}{3^n}$
で表される． $f^2=1$ ， $r^4=1$ に注意すると

(i) $n$ が奇数のとき
$\dfrac{f^n(2+r^2)^n}{3^n}$ $=\dfrac{f(2+r^2)^n}{3^n}$
であるから，この展開結果に定数項が含まれず，定数項は $0$ となる．

(ii) $n$ が偶数のとき
$\dfrac{f^n(2+r^2)^n}{3^n}$
$=\dfrac{(2+r^2)^n}{3^n}$
であるから，この（ $r^4=1$ として計算した）定数項は
$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{(2+1)^n}{3^n}+\dfrac{(2-1)^n}{3^n}\right)$ $=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{3^n}\right)$
となる．これは求める確率の2倍だから
$p_n=\dfrac{1}{4}\left(1+\dfrac{1}{3^n}\right)$
となる．

$n=2k$ のときは
$=\dfrac{(2+r^2)^{2k}}{3^{2k}}$ $=\dfrac{(5+4r^2)^{k}}{9^k}$
となり，これが [解答] で登場する $\dfrac{5}{9}$ と $\dfrac{4}{9}$ の正体である．

2024.04.21記
推移が線形漸化式で表現できるものはマルコフ過程で本問は8×8行列になって面倒だなと思っていたら、チート式の人がやってくれていた．

2024年東大理系の確率漸化式の問題をマルコフ連鎖で解いてみました。
「正攻法」は対称性を上手く利用するとこの程度の計算量で済みますが、それに気付かず愚直な漸化式の作り方をすると大変なことになります。
一方、「チート解法」のように推移確率行列の形を考えると自動的に対称性が見えてきます。 pic.twitter.com/zvelOhDpp2
— 佐久間 (@keisankionwykip) 2024年4月15日

対称性が行列のクロネッカ積で表現できることを利用して問題を簡略化しているのが良き．