2007年(平成19年)東京大学前期-数学(文科) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.19記

[1] 連立不等式
$y(y-|x^2-5|+4)\leqq0，\,y+x^2-2x-3\leqq0$
の表す領域を $D$ とする．

(1) $D$ を図示せよ．

(2) $D$ の面積を求めよ．

[2] $r$ は $0\lt r\lt 1$ をみたす実数， $n$ は $2$ 以上の整数とする．
平面上に与えられた $1$ つの円を，次の条件①，②をみたす2つの円で置き換える操作 ( $\mathbf{P}$ ) を考える．

① 新しい2つの円の半径の比は $r:1-r$ で，半径の和はもとの円の半径に等しい．

② 新しい $2$ つの円は互いに外接し，もとの円に内接する．

以下のようにして，平面上に $2^n$ 個の円を作る．

$\bullet$ 最初に，平面上に半径 $1$ の円を描く．

$\bullet$ 次に，この円に対して操作 ( $\mathbf{P}$ ) を行い， $2$ つの円を得る（これを $1$ 回目の操作という）．

$\bullet$ $k$ 回目の操作で得られた $2^k$ 個の円のそれぞれについて，
操作 ( $\mathbf{P}$ ) を行い， $2^{k+1}$ 個の円を得る（ $1 \leqq k \leqq n-1$ ）．

(1) $n$ 回目の操作で得られる $2^n$ 個の円の周の長さの和を求めよ．

(2) $2$ 回目の操作で得られる $4$ つの円の面積の和を求めよ．

(3) $n$ 回目の操作で得られる $2^n$ 個の円の面積の和を求めよ．

[3] 正の整数の下 $2$ 桁(けた)とは， $100$ の位以上を無視した数をいう．たとえば $2000$ ， $12345$ の下 $2$ 桁はそれぞれ $0$ ， $45$ である． $m$ が正の整数全体を動くとき， $5m^4$ の下 $2$ 桁として現れる数をすべて求めよ．

[4] 表が出る確率が $p$ ，裏が出る確率が $1-p$ であるような硬貨がある．
ただし， $0\lt p\lt 1$ とする．この硬貨を投げて，次のルール( $\mathbf{R}$ )の下で，ブロック積みゲームを行う．

( $\mathbf{R}$ ) $\left\{ \begin{array}{ll} ① & \text{ブロックの高さは，最初は0とする．} \\ ② & \text{硬貨を投げて表が出れば高さ1のブロックを1つ積み上げ，} \\ \quad & \text{裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ0に戻す．} \end{array} \right.$
$n$ を正の整数， $m$ を $0\leqq m\leqq n$ をみたす整数とする．

(1) $n$ 回硬貨を投げたとき，最後にブロックの高さが $m$ となる
確率 $p_m$ を求めよ．

(2) (1) で，最後にブロックの高さが $m$ 以下となる確率 $q_m$ を求めよ．

(3) ルール( $\mathbf{R}$ )の下で， $n$ 回の硬貨投げを独立に2度行い，それぞれ最後のブロックの高さを考える．2度のうち，高い方のブロックの高さが $m$ である確率 $r_m$ を求めよ．ただし，最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする．

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