1935年(昭和10年)東京帝國大學理學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[2] 中心 $\rm O$ なる定円に於て定点 $\rm P$ を過る弦 $\rm AB$ を引くとき三角形 $\rm AOB$ の面積の極大値及び極小値如何．

2019.04.04記
最大、最小ではなく極大、極小を求めることに注意。

[解答]
円を $x^2+y^2=1$ とし $P(0,p)$ （ $p\gt 0$ ）とする。 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ （ $x_1\lt x_2$ ）とおくと、 $\triangle AOB=\dfrac{1}{2}p(x_2-x_1)$ である。
直線 $AB$ の式を $y=mx+p$ とおくと、 $x_1,x_2$ は2次方程式 $x^2+(mx+p)^2-1=(m^2+1)x^2+2mpx+p^2-1=0$ の2解である。
よって $(x_2-x_1)^2=\dfrac{4(m^2-p^2+1)}{(m^2+1)^2}$ となる。

$f(m)=\dfrac{m^2-p^2+1}{(m^2+1)^2}$ とおくと、 $f'(m)=\dfrac{2m(2p^2-m^2-1)}{(m^2+1)^3}$ であるから、
$f'(m)=0$ となるのは $m=0，\pm\sqrt{2p^2-1}$ である（後者は $p\geqq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のときのみ）