1998年(平成10年)東京大学前期-数学(理科)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.07記

[1] $a$ は0でない実数とする．関数
$f(x)=(3x^2-4) \left( x-a+\dfrac{1}{a} \right)$
の極大値と極小値の差が最小となる $a$ の値を求めよ．

2020.09.30記
$x^3$ の係数が $a$ （ $\gt 0$ ）の3次関数 $f(x)$ の極大値と極小値（が存在する場合）の差は $f'(x)=0$ の2解を $\alpha，\beta$ （ $\alpha \lt \beta$ ）とするとき，極大値は $f(\alpha)$ ，極小値は $f(\beta)$ だから，

$f(\alpha)-f(\beta)$ $\displaystyle =\int_{\beta}^{\alpha} f'(x)\, dx$ $\displaystyle =\int_{\beta}^{\alpha} 3a(x-\alpha)(x-\beta)\, dx$ $\displaystyle =3a \int_{\alpha}^{\beta} 3a(x-\alpha)(\beta-x)\, dx$ $\displaystyle =\dfrac{a}{2}(\beta-\alpha)^3$
となる．

[解答]
$f(x)$ は $x^3$ の係数が $3$ の3次関数であり， $f'(x)=0$ なる $x$ は $x=\dfrac{2a}{3}，-\dfrac{2}{3a}$ であるから，極大値と極小値の差は
$\dfrac{3}{2}\Bigl|\dfrac{2}{3}\Bigl(a+\dfrac{1}{a}\Bigr)\Bigr|^3$ $=\dfrac{4}{9}\Bigl|a+\dfrac{1}{a}\Bigr|^3$ $=\dfrac{4}{9}\Bigl(|a|+\Bigl|\dfrac{1}{a}\Bigr|\Bigr)^3$
となり，これは $a$ と $\dfrac{1}{a}$ が同符号かつ， $|a|=1$ のとき，つまり $a=\pm 1$ のとき最小値
$\dfrac{4}{9}\Bigl(1+\dfrac{1}{1}\Bigr)^3$ $=\dfrac{32}{9}$
をとる．