2021年(令和3年)早稲田大学理工学部(全5問) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2021.02.18記

[I]

$xy$ 平面上の曲線 $y=x^3$ を $C$ とする． $C$ 上の2点 ${\rm A}(-1, -1), {\rm B}(1, 1)$ をとる．さらに， $C$ 上で原点 $\rm O$ と $\rm B$ の間に動点 ${\rm P}(t, t^3) （0\lt t\lt 1）$ をとる．このとき，以下の問に答えよ．

(1) 直線 $\rm AP$ と $x$ 軸のなす角を $\alpha$ とし，直線 $\rm PB$ と $x$ 軸のなす角を $\beta$ とするとき， $\tan\alpha，\tan\beta$ を $t$ を用いて表せ．ただし， $0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ ， $0\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$ とする．

(2) $\tan\angle \rm APB$ を $t$ を用いて表せ．

(3) $\angle\rm APB$ を最小にする $t$ の値を求めよ．

(1) $\tan\alpha=t^2-t+1$ ， $\tan\beta=t^2+t+1$
(2) $\tan(\beta-\alpha)=\dfrac{2t}{t^4+t^2+2}$ であるから，
$\tan\angle{\rm APB}=\tan(\pi-(\beta-\alpha))$ $=-\tan(\beta-\alpha)$ $=-\dfrac{2t}{t^4+t^2+2}$ である．
(3) $\angle{\rm APB}$ が最大となるとき， $=\dfrac{t^4+t^2+2}{t}=t^3+t+\dfrac{2}{t}=:f(t)$ が最小になる．
$f'(t)=3t^2+1-\dfrac{2}{t^2}=\dfrac{3t^4+t^2-2}{t^2}=0$ ， $0\lt t\lt 1$ より $t=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ 　であり，その前後で $f'(t)$ は負から正となるので極小かつ最小．

[II]

整式 $f(x)=x^4-x^2+1$ について，以下の問に答えよ．

(1) $x^6$ を $f(x)$ で割ったときの余りを求めよ．

(2) $x^{2021}$ を $f(x)$ で割ったときの余りを求めよ．

(3) 自然数 $n$ が $3$ の倍数であるとき， $(x^2-1)^n-1$ が $f(x)$ で割り切れることを示せ．

$f(x)(x^2+1)=x^6+1$ だから $x^6\equiv -1（\mbox{mod}\,f(x)）$ である．よって，

(1) $-1$

(2) $x^{2021}\equiv x^5 \equiv x^3-x（\mbox{mod}\,f(x)）$

(3) $n=3m$ のとき，
$(x^2-1)^{3m}-1\equiv (x^4)^{3m}-1\equiv x^{12m}-1\equiv 1-1=0（\mbox{mod}\,f(x)）$

[III] 複素数 $\alpha = 2 + i$ ， $\beta=-\dfrac{1}{2}+i$ に対応する複素数平面上の点を ${\rm A}(\alpha)$ ， ${\rm B}(\beta)$ とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1) 複素数平面上の点 ${\rm C}(\alpha^2)$ ， ${\rm D}(\beta^2)$ と原点 $\rm O$ の3点は一直線上にあることを示せ．

(2) 点 ${\rm P}(z)$ が直線 $\rm AB$ 上を動くとき， $z^2$ の実部を $x$ ，虚部を $y$ として，点 ${\rm Q}(z^2)$ の軌跡を $x， y$ の方程式で表せ．

(3) 点 ${\rm P}(z)$ が三角形 $\rm OAB$ の周および内部にあるとき，点 ${\rm Q}(z^2)$ 全体のなす図形を $K$ とする． $K$ を複素数平面上に図示せよ．

(4) (3) の図形 $K$ の面積を求めよ．

(1) $\beta=\dfrac{i}{2}\alpha$ より $\beta^2=-\dfrac{1}{4}\alpha^2$ だから $\rm O,C,D$ は一直線上にある．

(2) $z=t+i$ であるから， $z^2=t^2-1+2t i$ となるので $x=t^2-1$ ， $y=2t$ となり $x=\dfrac{y^2}{4}-1$

(3) 線分 $\rm AB$ は $z=t+i（-\dfrac{1}{2}\leqq t\leqq 2）$ であるから， $x=\dfrac{y^2}{4}-1（-1\leqq y\leqq 4）$
となり，線分 $\rm AB$ を原点中心に $s（0\leqq s\leqq 1）$ 倍拡大すると， $z^2$ は原点中心に $s^2（0\leqq s^2\leqq 1）$ 倍拡大されるので，求める領域は， $\rm O,C,D$ が一直線上にあることに注意すると，
$\dfrac{y^2}{4}-1\leqq x\leqq \dfrac{3}{4}y$
の周または内部（図示略）

(3) $\dfrac{1}{6}$ 公式から $\dfrac{125}{24}$

[IV]

$n,k$ を 2 以上の自然数とする． $n$ 個の箱の中に $k$ 個の玉を無作為に入れ，各箱に入った玉の個数を数える．その最大値と最小値の差が $\ell$ となる確率を $P_{\ell}（0\leqq\ell\leqq k）$ とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1) $n = 2$ ， $k = 3$ のとき， $P_0$ ， $P_1$ ， $P_2$ ， $P_3$ を求めよ．

(2) $n \geqq 2$ ， $k = 2$ のとき， $P_0$ ， $P_1$ ， $P_2$ を求めよ．

(3) $n \geqq 3$ ， $k = 3$ のとき， $P_0$ ， $P_1$ ， $P_2$ ， $P_3$ を求めよ．

(1) 玉の組は順不同で $(3,0)，(2,1)$ だから最大値と最小値の差は、1 か 3 だから $P_0=P_2=0$ ．

差が3となる場合は全てが同じ箱に入る場合で $\dfrac{2}{2^3}=\dfrac{1}{4}$ だから $P_3=\dfrac{1}{4}$ となり， $P_1=\dfrac{3}{4}$ となる．
以上から $P_0=0$ ， $P_1=\dfrac{3}{4}$ ， $P_2=0$ ， $P_3=\dfrac{1}{4}$

(2)(i) $n=2$ のとき玉の組は順不同で $(2,0)，(1,1)$ だから最大値と最小値の差は、0 か 2 だから $P_1=0$ ．

差が2となる場合は全てが同じ箱に入る場合で $P_2=\dfrac{1}{2}$ となり，残りは $P_0=\dfrac{1}{2}$ となる．
以上から $P_0=\dfrac{1}{2}$ ， $P_1=0$ ， $P_2=\dfrac{1}{2}$ ．

(ii) $n\geqq 3$ のとき玉の組は順不同で $(2,0,\cdots)，(1,1,0,\cdots)$ だから最大値と最小値の差は 1 か 2 だから $P_0=0$ ．
差が2となる場合は全てが同じ箱に入る場合で $P_2=\dfrac{1}{n}$ となり，残りは $P_1=\dfrac{n-1}{n}$ となる．
以上から $P_0=\dfrac{1}{2}$ ， $P_1=\dfrac{n-1}{n}$ ， $P_2=\dfrac{1}{n}$ ．

(3)(i) $n=3$ のとき玉の組は順不同で $(3,0,0)，(2,1,0)，(1,1,1)$ だから最大値と最小値の差は、0 か 2 か 3 だから $P_1=0$ ．

差が3となる場合は全てが同じ箱に入る場合で $P_3=\dfrac{1}{9}$ となり，差が 0 となるのは $P_2=\dfrac{3!}{3^3}=\dfrac{2}{9}$ となり，残りは $P_2=\dfrac{2}{3}$ となる．
以上から $P_0=\dfrac{2}{9}$ ， $P_1=0$ ， $P_2=\dfrac{2}{3}$ ， $P_3=\dfrac{1}{9}$ ．

(ii) $n\geqq 4$ のとき玉の組は順不同で $(3,0,\cdots)，(2,1,0,\cdots)，(1,1,1,0,\cdots)$ だから最大値と最小値の差は1 か 2 か 3 だから $P_0=0$ ．
差が3となる場合は全てが同じ箱に入る場合で $P_3=\dfrac{1}{n^2}$ となり，差が1となるのは $P_1=\dfrac{{}_n\mbox{P}_3}{n^3}=\dfrac{(n-1)(n-2)}{n^2}$ となり(注1)，残りは $P_2=\dfrac{3(n-1)}{n^2}$ となる(注2)．
以上から $P_0=0$ ， $P_1=\dfrac{(n-1)(n-2)}{n^2}$ ， $P_2=\dfrac{3(n-1)}{6n^2}$ ， $P_3=\dfrac{1}{n^2}$ ．

(注1) 1つ目の玉が入る箱，2つ目の玉が入るそれ以外の箱，3つ目の玉が入るそれら以外の箱を選ぶと考えれば ${}_n\mbox{P}_3$ 通りとなるのだが，予備校の解答では何故か，わざわざ3つの箱を選んだ後に3つの玉を入れる ${}_n\mbox{C}_3\times 3!$ をとっている所が多い．

(注2) 余事象で求めたが，2つ玉を入れる箱，1つ玉を入れる箱を順番に選び，1つ玉を入れる箱に入れる玉をどれにするか選ぶと考えれば ${}_n\mbox{P}_2 \times 3=3n(n-1)$ 通りというように直接数えることもできる．

[V]

正四面体 $\rm OABC$ に対し，三角形 $\rm ABC$ の外心を $\rm M$ とし， $\rm M$ を中心として点 $\rm A$ ， $\rm B$ ， $\rm C$ を通る球面を $S$ とする．また， $S$ と辺 $\rm OA$ ， $\rm OB$ ， $\rm OC$ との交点のうち， $\rm A$ ， $\rm B$ ， $\rm C$ とは異なるものをそれぞれ $\rm D$ ， $\rm E$ ， $\rm F$ とする．さらに， $S$ と三角形 $\rm OAB$ の共通部分として得られる弧 $\rm DE$ を考え，その弧を含む円周の中心を $\rm G$ とする． $\vec{a}=\overrightarrow{\rm OA}$ ， $\vec{b}=\overrightarrow{\rm OB}$ ， $\vec{c}=\overrightarrow{\rm OC}$ として，以下の問に答えよ．

(1) $\overrightarrow{\rm OD}$ ， $\overrightarrow{\rm OE}$ ， $\overrightarrow{\rm OF}$ ， $\overrightarrow{\rm OG}$ を $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ を用いて表せ．

(2) 三角形 $\rm OAB$ の面積を $S_1$ ，四角形 $\rm ODGE$ の面積を $S_2$ とするとき， $S_1:S_2$ をできるだけ簡単な整数比により表せ．

(1) $1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$ の直角3角形と方羃の定理から
$\sqrt{3}x=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$
となり， $x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ となる．これは斜辺の $\dfrac{1}{3}$ 倍だから， $\overrightarrow{\rm OD}=\dfrac{1}{3}\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\rm OE}=\dfrac{1}{3}\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\rm OF}=\dfrac{1}{3}\vec{c}$ ．

$\rm G$ は $\rm EB$ の垂直2等分線と $\rm AB$ の垂直2等分線の交点であるから，
$\triangle\rm OAB$ の重心と $\rm AB$ の3等分点からなる3角形の重心となり， $\overrightarrow{\rm OG}=\dfrac{4}{9}(\vec{a}+\vec{b})$ ．

(2) $\rm DE$ の中点を $\rm N$ とすると $S_1:S_2=9\triangle {\rm ODE}:四角形{\rm ODGE}$ $=9{\rm ON}:{\rm OG}=9:\dfrac{8}{3}$ $=27:8$