2019年(平成31年)東京大学-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2024.02.26記

[2] 一辺の長さが1の正方形 $\mbox{ABCD}$ を考える．3点 $\mbox{P，Q，R}$ はそれぞれ辺 $\mbox{AB，AD，CD}$ 上にあり，3点 $\mbox{A，P，Q}$ および3点 $\mbox{P，Q，R}$ はどちらも面積が $\dfrac{1}{3}$ の三角形の3頂点であるとする． $\dfrac{\mbox{DR}}{\mbox{AQ}}$ の最大値，最小値を求めよ．

2024.02.26記

[解答]
$\mbox{AP}=p，\mbox{AQ}=q，\mbox{DR}=x$ とおくと，条件は $pq=\dfrac{2}{3}$ ， $(1-q)x+(2-p-x)=\dfrac{2}{3}$ となり，整理して $pq=\dfrac{2}{3}，p+qx=\dfrac{4}{3}$ となる．

$q$ を消去して $p^2-\dfrac{4}{3}p=-\dfrac{2}{3}x$ であるから
$\dfrac{\mbox{DR}}{\mbox{AQ}}=\dfrac{x}{q}=\dfrac{9}{4}p^2\left(\dfrac{4}{3}-p\right)=:f(p)$
となる．

ここで
$pq=\dfrac{2}{3}$ かつ $q\leqq 1$ より $p\geqq \dfrac{2}{3}$
であるから $\dfrac{2}{3}\leqq p\leqq 1$ が必要で，このとき
$\mbox{DR}=p\left(\dfrac{4}{3}-p\right)\gt 0$
が成立するので確かに題意をみたす $\triangle\mbox{APQ}$ ， $\triangle\mbox{PQR}$ が存在できるので十分．

よって $\dfrac{2}{3}\leqq p\leqq 1$ における $f(p)$ の最大，最小を求めれば良い．

3次関数の形状を考えることにより， $f(p)$ は $p=\dfrac{8}{9}$ で最大となり， $f\left(\dfrac{8}{9}\right)=\dfrac{64}{81}$ となる．
最小値は
$f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{2}{3}$ と $f(1)=\dfrac{3}{4}$ の小さい方だから $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{2}{3}$ である．

最大値だけなら，AM-GM 不等式から
$f(p)=9\cdot\dfrac{p}{2}\cdot\dfrac{p}{2}\cdot\left(\dfrac{4}{3}-p\right)\leq 9\cdot\dfrac{1}{27}\left\{\dfrac{p}{2}+\dfrac{p}{2}+\left(\dfrac{4}{3}-p\right)\right\}^3=\dfrac{64}{81}$
（等号成立は $\dfrac{p}{2}=\left(\dfrac{4}{3}-p\right)$ より $p=\dfrac{8}{9}$ のとき）
と求まる．

なお，上記の $\dfrac{2}{3}\leqq p\leqq 1$ を求めるのには，厳密には $0\lt p,q,r\leq 1$ の3つの条件から求めるべきだが， $\triangle\mbox{ APQ}$ の辺の長さだけに言及した場合、どの程度減点されるかは受験者の分布によると思われる。