[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1937年(昭和12年)東京帝國大學醫學部醫學科-數學[2]

2022.08.11記

[2] 次ノ展開式ニ於ケルc_nノ値ヲ求ム．
\dfrac{1}{1+x-2x^2}=1-x+3x^2+\cdots+c_nx^n+\cdots

2022.08.23記

[解答]
\dfrac{1}{1+x-2x^2}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{1-x}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{1+2x}
であるから，一般二項定理により x^n の係数である c_n は
c_n={}_{-1}\mbox{C}_{n}\left(\dfrac{1}{3}\cdot (-1)^n+\dfrac{2}{3}\cdot 2^n\right)=\dfrac{(-1)\cdot(-2)\cdots(-n)}{n!}\cdot\dfrac{(-1)^n+2^{n+1}}{3}=(-1)^n\cdot\dfrac{(-1)^n+2^{n+1}}{3}=\dfrac{1-(-2)^{n+1}}{3}

■ 収束半径は \dfrac{1}{1+2x} の収束半径なので |x|\lt\dfrac{1}{2} となる．