[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1932-01-14

1932年(昭和7年)東京帝國大學農學部-數學[1]

2022.08.08記

[1] $\sin^{-1} x$ ヲ級數ニ展開セヨ．

2022.08.08記

[解答]
一般二項定理により，
$(1-x^2)^{-1/2}=1+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1\times 3}{2\times 4}x^4+\cdots$ $+\dfrac{(2n-1)!!}{2n!!}x^{2n}+\cdots$
が成立し，項別積分して
$\sin^{-1}x=x+\dfrac{1}{2\cdot 3}x^3+\dfrac{1\times 3}{2\times 4\cdots 5}x^5+\cdots$ $+\dfrac{(2n-1)!!}{(2n+1)(2n!!)}x^{2n+1}+\cdots$

収束半径は $|x|\leqq 1$ である．