[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1940年(昭和15年)東京帝國大學農學部-數學[1]

2022.07.20記

[1] y=(\sin^{-1} x)^2ナルトキ
(1-x^2)\dfrac{d^2y}{dx^2}-x\dfrac{dy}{dx}=2
ナルコトヲ證明セヨ．

2022.07.24記

[解答]
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}
であるから
\sqrt{1-x^2}\dfrac{dy}{dx}=2\sin^{-1}x
となるので，この両辺を微分して
-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\dfrac{dy}{dx}+\sqrt{1-x^2}\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{2}{\sqrt{1-x^2}}
となるので，整理して
(1-x^2)\dfrac{d^2y}{dx^2}-x\dfrac{dy}{dx}=2
を得る．