1940年(昭和15年)東京帝國大學農學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.07.20記

[2] $\Bigl(\dfrac{x}{a}\Bigr)^m+\Bigl(\dfrac{y}{b}\Bigr)^m=2$ ナル曲線ハ $m$ ノ如何ニヨラズ點 $(a,b)$ ニテ互ニ切スルコトヲ證明セヨ．

2022.07.24記
現在の入試なら $m\gt 0$ という条件を入れるのが普通．

[うまい解答]
$x$ 軸方向に $\dfrac{1}{a}$ 倍， $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{b}$ 倍拡大しても接線は接線にうつる．

この変換，つまり $X=\dfrac{x}{a}$ ， $Y=\dfrac{y}{b}$ によって与えられら曲線は
$X^m+Y^m=2$ にうつる．この曲線は $m$ の値によらず $(1,1)$ を通り $Y=X$ について対称である点 $(1,1)$ で微分可能な曲線であるから， $m$ の値によらず $X+Y=2$ に接し，つまり $X^m+Y^m=2$ は $m$ の値によらず互いに接する．

よって
$\Bigl(\dfrac{x}{a}\Bigr)^m+\Bigl(\dfrac{y}{b}\Bigr)^m=2$ なる曲線は $m$ の値によらず $(a,b)$ にて互いに接する．

[解答]
$\Bigl(\dfrac{x}{a}\Bigr)^m+\Bigl(\dfrac{y}{b}\Bigr)^m=2$ 　より
$\dfrac{m}{a}\Bigl(\dfrac{x}{a}\Bigr)^{m-1}+\dfrac{m}{b}\Bigl(\dfrac{y}{b}\Bigr)^{m-1}\dfrac{dy}{dx}=0$
が成立するので，曲線上の点 $(a,b)$ における接線の傾きは $m$ によらず
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{b}{a}$
と等しい．よって $\Bigl(\dfrac{x}{a}\Bigr)^m+\Bigl(\dfrac{y}{b}\Bigr)^m=2$ なる曲線は $m$ の値によらず $(a,b)$ にて共通の接線をもつので互いに接する．