2022.07.20記
楕円の中心を通る弦(径)と平行な直線と,もとの楕円の2交点の中点の軌跡からなる楕円の弦を,その弦(径)の共役径という.
双曲線の中心を通る弦(径)と平行な直線と,もとの双曲線の共役双曲線の2交点の中点の軌跡からなる共役双曲線の弦を,その弦(径)の共役径という.ここで,共役双曲線とは,
に対して
の関係にある
双曲線のことである.
2022.07.24記
(1) 楕円の場合
楕円 と が2点で交わるとき,2交点の 座標は
の2解であるから,2交点の中点の 座標は であり,よって 座標は
となる.よって中点の軌跡は
となる.つまり楕円 の互いに共役な径の傾きは と となることから
「径が共役傾きの積が 」
であることがわかる.よって楕円の共役径の端点が , であるとするとき, は と楕円の交点となる.
ここで , とおくと,
であるから となり,
となる.
このとき,
で一定である.
(2) 双曲線の場合
双曲線 と が2点で交わるとき,2交点の 座標は
の2解であるから,2交点の中点の 座標は であり,よって 座標は
となる.よって中点の軌跡は
となる.つまり双曲線 の互いに共役な径の傾きは と となることから
「径が共役傾きの積が 」
であることがわかる.よって双曲線 のある径の端点が であり,その共役径の端点が であるとするとき, は と双曲線 の交点となる.
ここで , とおくと,
であるから となり,
となる.
このとき,
で一定である.
楕円は線形変換で単位円に,双曲線は線形変換で に移すことができ,平行であることと,中点であることは保存されるので,共役径である組は共役径である組にうつることがわかる.
(1) 楕円の場合
楕円を としたとき, 軸方向に 倍拡大すると円 になる.この拡大変換において,平行線は平行線に,中点は中点に移るので,共役径も共役径に移る.
円における共役径は互いに直交する直径であり,それらを を通る直径と を通る直径とすると,
楕円の共役径は を通る径と を通る径であるから,その長さの平方の和は
となり, によらず一定であるから題意は示された.
(2) 双曲線の場合
双曲線を としたとき, 軸方向に 倍拡大すると直角双曲線 になり,さらに原点中心に 回転して原点中心に 倍拡大すると に移る.この変換において,平行線は平行線に,中点は中点に移るので,共役径も共役径に移る.
双曲線 上の点 を通る径とその共役径を考える.これらを , という線形変換を行うと, は自分自身にうつり,片方の径が となるので,もう片方の径は となる.
よって を通る径の共役径は の を通る径であり,これらは直交している.よって の共役径も直交している.つまりその端点の組は
,
であり,よって双曲線 の共役径の端点の組は
,
となる.よって共役径の長さの差は
となり, によらず一定であるから題意は示された.
双曲線関数は本質的ではなく,共役径の端点の組は
,
でも
,
でも構わない.