[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1942-09-15

1942年(昭和17年)東京帝國大學(秋入学)農學部-數學[2]

[2] 南北ハ平行直線，東西兩端ハ共ニ半圓形ニシテ，全周 $400\mbox{m}$ ノ競走場ヲ作リ，南北ノ直線分ニ沿ヒテ幅 $20\mbox{m}$ ノ觀覧席を設ケントス． $1\mbox{m}^2$ ノ土地代金3圓ナルトキ，土地代金ノ最大ハ幾何トナルカ．

2022.06.01記

[解答]
円の半径を $r$ m，直線部の長さを南北それぞれ $x$ m とすると
$2\pi r + 2x =400\quad$ ( $0\lt r\lt \dfrac{200}{\pi}$ )
が成立し，そのときの面積は
$\pi r^2+(2r+40)x$ $=\pi r^2+(r+20)(400-2\pi r)$ $=-\pi\left( r-\dfrac{20(10-\pi)}{\pi}\right)^2+\dfrac{400(10-\pi)^2}{\pi}+8000$
となり， $r=\dfrac{20(10-\pi)}{\pi}$ のときに最大値 $\dfrac{400(10-\pi)^2}{\pi}+8000$ をとるので
土地の代金の最大は $\dfrac{1200(10-\pi)^2}{\pi}+24000$ 圓