1946年(昭和21年)東京帝國大學第一工學部-數學[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.06.02記

[4] 次の閉曲線によって取り圍まれる面積を求めよ．
$\left. \begin{array}{l} x=\dfrac{1+abt^2}{1+b^2t^2} \\ y=\dfrac{2(a-b)t}{1+b^2t^2} \end{array} \right\}$
但し $b\neq 0$ とす．

2022.06.04記
$\tan\dfrac{\theta}{2}=t$ のときに $\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ， $\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}$ となるという式と似ていることに着目すると， $t$ を消去すれば楕円が登場することが予想できるだろう．

[解答]
$x=\dfrac{1+abt^2}{1+b^2t^2}$ から $t^2=\dfrac{x-1}{-b^2 x+ab}$ となるので，
$y^2=\dfrac{4(a-b)^2t^2}{(1+b^2t^2)^2}$ $=\dfrac{4(a-b)^2\dfrac{x-1}{-b^2 x+ab}}{(1+b^2\dfrac{x-1}{-b^2 x+ab})^2}$ $=4(bx-a)\dfrac{x-1}{-b}$
つまり
$by^2+4(bx-a)(x-1)=0$
となる．これは $x$ 軸について線対称な楕円であり， $x^2$ と $y^2$ の係数をみると長半径が短半径の2倍となる縦長の楕円である．ここで短半径は $x$ 軸との交点が $(1,0)$ ， $\left(\dfrac{a}{b},0\right)$ となることから $\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{b-a}{b}\right|$ である．よって求める楕円の面積は
$\pi\times\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{b-a}{b}\right|\cdot \dfrac{1}{2}\left|\dfrac{b-a}{b}\right|$ $=\dfrac{(b-a)^2\pi}{2b^2}$ となる．

2022.06.04記

[別解]
$t$ を $-t$ に変えることにより図形は $x$ 軸対称であり， $t\geqq 0$ において $y$ は定符号であり， $t=0,\infty$ において $y=0$ となる．

また， $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{2b(a-b)t}{(1+b^2t^2)^2}$ は $t\gt 0$ で定符号であるから，求める面積は
$S=2\left|\displaystyle\int_0^{\infty} y dx \right|$ $=8|b|(a-b)^2 \displaystyle\int_0^{\infty} \dfrac{t^2}{(1+b^2t^2)^3}dt$
となる． $|b|t=\tan\theta$ とおくと
$S=8|b|(a-b)^2 \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\tan^2\theta}{|b|^2}\cdot \cos^6\theta \cdot \dfrac{d\theta}{|b|\cos^2\theta}$
$=\dfrac{8(a-b)^2}{b^2}\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta\cos^2\theta\, d\theta$
$=\dfrac{8(a-b)^2}{b^2}\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)$
$=\dfrac{(a-b)^2\pi}{2b^2}$