1956年(昭和31年)東京大学-数学(幾何)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.02.11記

[2] 半径一定の動円が平面上の直交座標系の原点 $\rm O$ を通りながら動くとき，この円と $x$ 軸， $y$ 軸との原点以外の交点を $\rm P，Q$ とすれば，線分 $\rm PQ$ の3 等分点はどのような曲線の上にあるか．

2022.02.11記
座標で考える．

[解答]
円の半径を $r$ とすると円の中心は $(r\cos\theta,r\sin\theta)$ （ $\sin\theta\cos\theta\neq0$ ）とおけ，このとき ${\rm P}(2\cos\theta,0)$ ， ${\rm Q}(0,2\sin\theta)$ となるので，3等分点は
$\left(\dfrac{4}{3}r\cos\theta,\dfrac{2}{3}r\sin\theta\right)$ ，および $\left(\dfrac{2}{3}r\cos\theta,\dfrac{4}{3}r\sin\theta\right)$ となるが，これはそれぞれ楕円
$\dfrac{x^2}{(4r/3)^2}+\dfrac{y^2}{(2r/3)^2}=1$ ，および $\dfrac{x^2}{(2r/3)^2}+\dfrac{y^2}{(4r/3)^2}=1$
のパラメータ表示であるから，それぞれの3等分点は2つの楕円上にある．但し $\sin\theta\cos\theta\neq0$ からそれぞれの楕円の4つの頂点は除く。