1946年(昭和21年)東京帝國大學農學部-數學[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.06.02記

[4] 楕圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の面積を求む．

2022.07.16記
答が $\pi ab$ となることを積分計算しろということ．

[解答]
楕円は $x$ 軸対称、 $y$ 軸対称であるから，第一象限の面積の4倍となる．よって
$S=4\displaystyle\int_0^a b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}dx$ $=\dfrac{4b}{a}\displaystyle\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}dx$
となる． $x=a\sin\theta$ と置換すると
$S=\dfrac{4b}{a}\displaystyle\int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2 \theta d\theta$ $=2ab \displaystyle\int_0^{\pi/2} (1+\cos 2\theta) d\theta$ $=2ab \Bigl[ \theta+\dfrac{1}{2}\sin2\theta \Bigr]_0^{\pi/2}$ $=2ab\cdot\dfrac{\pi}{2}$ $=\pi ab$

大学では $\sqrt{a^2-x^2}$ の原始関数を習うので
$S=4\displaystyle\int_0^a b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}dx$ $=\dfrac{4b}{a}\displaystyle\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}dx$ $=\dfrac{4b}{a}\Bigl[\dfrac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{a^2}{2}\mbox{Arcsin}\,\dfrac{x}{a}\Bigr]_0^a$ $=\dfrac{4b}{a}\cdot\left(0+\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)-(0-0)$ $=\pi ab$
と求めることができる．