1946年(昭和21年)東京帝國大學第一工學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.06.02記

[3] $y=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\sin t}{t}dt$ （ $x\geqq 0$ ）の概略のグラフを描け．

本問のテーマ

正弦積分関数

2022.06.04記
これはどこまで書けば良いかわからない問題。現在では許されなさそうな出題だ。
$\mbox{sinc}(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ ， $\mbox{Si}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\sin t}{t}dt$
である．なお，余弦積分関数
$\mbox{Ci}(x)=-\displaystyle\int_{x}^{\infty}\dfrac{\cos t}{t}dt$ （ $x\geqq 0$ ）
も定義されていて
$\mbox{Ci}(x)=\gamma+\log x - \displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\cos t-1}{t}dt$
（ $\gamma$ はオイラーの定数）となる．

指数積分 - Wikipedia
も参照のこと。

[解答]
$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ ， $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\sin t}{t}dt$ （ $x\geqq 0$ ）
とおくと， $F'(x)=f(x)$ は $\sin x$ と同符号であるから， $n$ を非負整数として $x=2n\pi$ で極小， $x=(2n+1)\pi$ で極大となる．

ここで $|f(x+\pi)|<|f(x)|$ であることに注意すると極小値について
$F(0)\lt F(2\pi)\lt F(4\pi)\lt \cdots$
であり，極大値について
$F(\pi)\gt F(3\pi)\gt F(5\pi)\gt \cdots$
となり， $F(x)\to\dfrac{\pi}{2}\, (x\to+\infty)$ （証明は大学の範囲）となるので
$0=f(0)\lt f(2\pi)\lt f(4\pi)\lt \cdots \lt \dfrac{\pi}{2} \lt \cdots \lt f(5\pi) \lt f(3\pi) \lt f(\pi)$
が成立する．

よって減衰振動しながら $\dfrac{\pi}{2}$ に近づいていくグラフになる。

ここで
$f(x)$ のマクローリン展開は
$f(x)=1-\dfrac{1}{3!}x^2+\dfrac{1}{5!}x^4-\dfrac{1}{7!}x^6+\cdots + \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}+\cdots$
であり，その収束半径は， $\sin x$ の収束半径と同じく $+\infty$ であるから，項別積分可能であり，
よって $F(x)$ のマクローリン展開は
$F(x)=x-\dfrac{1}{3\cdot 3!}x^3+\dfrac{1}{5\cdot 5!}x^5-\dfrac{1}{7\cdot7!}x^7$ $+\cdots + \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots$
となる．項別積分で求めた $F(\pi)$ の近似値は 1.85 である。