1946年(昭和21年)東京帝國大學第一工學部-數學[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2022.06.02記

[2] 二次曲線あり，その圍む面積は $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\pi$ にしてその中心は $(1,1)$ にあり，且 $(0,1)$ の點を通る．その曲線の方程式を求む．但し離心率は $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ とす．

2022.06.04記

[解答]
楕円の長半径を $a(\gt 0)$ ，楕円の短半径を $b(\gt 0)$ とすると面積は $\pi ab=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\pi$ ，離心率は $\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ であるから， $a=\sqrt{2}$ ， $b=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ となる．

よって求める楕円の方程式は
$\dfrac{\{(x-1)\cos\theta-(y-1)\sin\theta\}^2}{2}+\dfrac{3\{(x-1)\sin\theta+(y-1)\cos\theta\}^2}{2}=1$
( $0\leqq\theta\lt\pi$ )
とおくことができる．これが $(1,0)$ を通るので，
$\dfrac{\sin^2\theta}{2}+\dfrac{3\cos^2 \theta}{2}=1$
つまり $2\cos^2 \theta=1$ から
$(\cos\theta,\sin\theta)=\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
となる．よって楕円の方程式は
$\dfrac{\{\pm(x-1)-(y-1)\}^2}{4}+\dfrac{3\{(x-1)\pm (y-1)\}^2}{4}=1$
整理して
$(x-1)^2+(y-1)^2\pm (x-1)(y-1)=1$
となる．つまり
$x^2+xy+y^2 -3(x+y)+2=0$
または
$x^2-xy+y^2 -(x+y)=0$
となる．