1967年(昭和42年)東京大学-数学(理科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[4] 方程式 $x^2-xy+y^2=3$ の表わす曲線の略図をえがき，その第1象限にある部分が $x$ 軸， $y$ 軸と囲む図形の面積を求めよ．

2022.05.02記
昔は、 $x^2-xy+y^2=定数$ は45度回転した楕円であることは常識だった．

[解答]
点 $(x,y)$ を原点中心に $\theta$ 回転した点を
$(X,Y)=(x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta)$
とおくと
$(x,y)=(X\cos\theta+Y\sin\theta,X\sin\theta-Y\cos\theta)$
となるので， $x^2-xy+y^2=3$ を原点中心に $\theta$ 回転した図形は
$(1+\sin\theta\cos\theta)X^2+(1-\sin\theta\cos\theta)Y^2+(\sin^2\theta-\cos^2\theta)XY=3$
となる．そこで $\theta=-\dfrac{\pi}{4}$ とすると
$\dfrac{X^2}{6}+\dfrac{Y^2}{2}=1$
となる．よって楕円 $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{2}=3$ を原点中心に $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ 回転したものが
$x^2-xy+y^2=3$
である．

求める面積は，楕円 $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{2}\leqq 1$ と $-x\leqq y\leqq x$ の共通部分の面積で，
図形を $y$ 軸方向に $\sqrt{3}$ 倍拡大すると円 $x^2+y^2\leqq 6$ と $-\sqrt{3}x\leqq y\leqq \sqrt{3}x$ の共通部分の面積で中心角120度の扇型の面積となり $\dfrac{1}{3}\cdot \pi (\sqrt{6})^2=2\pi$ となる．よって求める面積は $\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{3}$ となる．