[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1947年(昭和22年)東京帝國大學農學部-數學[1]

2022.07.16記

[1] 次ノ式ヲ微分セヨ．

i. y=\log\sqrt{\dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}

ii. y=a\cos^{-1}\Bigl(\dfrac{a-x}{a}\Bigr)-\sqrt{2ax-x^2}


2022.07.17記

[解答]
i. y=\dfrac{1}{2}\left\{\log (a^2-x^2) - \log (a^2+x^2) \right\} だから
y'=\dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{-2x}{a^2-x^2}-\dfrac{2x}{a^2+x^2}\right\}=\dfrac{2a^2x}{x^4-a^4}

ii. y'=-a\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{(a-x)^2}{a^2}}}\cdot\dfrac{-1}{a}-\dfrac{a-x}{\sqrt{2ax-x^2}}
=\dfrac{|a|}{\sqrt{2ax-x^2}}-\dfrac{a-x}{\sqrt{2ax-x^2}}=\dfrac{x-a+|a|}{\sqrt{2ax-x^2}}
=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{x}{\sqrt{2ax-x^2}} & (a\gt 0) \\ \dfrac{x-2a}{\sqrt{2ax-x^2}} & (a\lt 0) \end{array}\right.