1990年(平成2年)東京大学前期-数学(理科)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2019.04.03記

[2] 3次関数 $h(x)=px^3+qx^2+rx+s$ は，次の条件(i)，(ii)をみたすものとする．

(i) $h(1)=1$ ， $h(-1)=-1$ ．

(ii) 区間 $-1\lt x\lt 1$ で極大値 $1$ ，極小値 $-1$ をとる．

このとき，

(1) $h(x)$ を求めよ．

(2) 3次関数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ が区間 $-1\lt x\lt 1$ で $-1\lt f(x)\lt 1$ をみたすとき， $|x|>1$ なる任意の実数 $x$ に対して不等式 $|f(x)|\lt |h(x)|$ が成立することを証明せよ．

2019.04.03記
チェビシェフ多項式の問題。

(1) $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ から $h(x)=4x^3-3x$

(2) $f(x)=h(x)$ をみたす $x$ は区間 $-1\lt x\lt 1$ に3つあるので、 $|\,x\,|\gt 1$ の範囲で $y=f(x)$ と $y=h(x)$ は交点をもたない。
同様に $f(x)=-h(x)$ をみたす $x$ は区間 $-1\lt x\lt 1$ に3つあるので、 $|\,x\,|\gt 1$ の範囲で $y=f(x)$ と $y=-h(x)$ は交点をもたない。
$x=\pm 1$ のとき、 $f(x)$ は $h(x)$ と $-h(x)$ の間にあるので、 $|\,x\,|\gt 1$ の範囲で $f(x)$ は $h(x)$ と $-h(x)$ の間にある。
よって、 $|\,f(x)\,|\lt|\,h(x)\,|$ が成立する。

(1) $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ から $h(x)=4x^3-3x$

2021.01.30記

[解答]
(1) 極大値 $1$ ，極小値 $-1$ をとる $x$ を $\alpha，\beta$ とすると，
$h(x)=p(x-1)(x-\alpha)^2+1=p(x+1)(x-\beta)^2-1$
が成立する．係数比較をして
$2\alpha+1=2\beta-1$ ， $2\alpha+\alpha^2=-2\beta+\beta^2$ ， $1-p\alpha^2=-1+p\beta^2$
が成立する．よって $\alpha\neq\beta$ より $\alpha=-\dfrac{1}{2}$ ， $\beta=\dfrac{1}{2}$ ， $p=4$

(2) $h(x)=4x^3-3x$ である．
$g_1(x)=h(x)-f(x)$ とすると，
$g_1(-1)=-1-f(-1)\lt 0$ ， $g_1(-1/2)=1-f(-1/2)\gt 0$ ， $g_1(1/2)=-1-f(1/2)\lt 0$ ， $g_1(1)=1-f-1)\gt 0$
であるから， $h(x)=f(x)$ の解は $-1\leqq x\leqq -\dfrac{1}{2}$ ， $-\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq \dfrac{1}{2}$ ， $\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq 1$ の範囲に少なくとも1つずつ存在し，3次方程式よりこれば全て．