1966年(昭和41年)東京大学-数学(文科)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.09.29記

[4] 半径1の定円 $\rm O$ の周上に1 点 $\rm A$ が与えられている． $\rm A$ を中心とする円が，円 $\rm O$ の直径 $\rm AA'$ と交わる点を $\rm R$ ，円 $\rm O$ と交わる点を $\rm P，Q$ とするとき，四辺形 $\rm APRQ$ の面積の最大値を求めよ．

本問のテーマ

3次関数の形

2022.05.02記

[解答]
円を $x^2+y^2=1$ ， ${\rm A}(1,0)$ として良い．点 ${\rm P}(\cos 2\theta,\sin2\theta)$ ( $0^{\circ}\lt\theta\lt90^{\circ}$ )
とおくと， ${\rm AP}=2\sin\theta$ であるから，四辺形の面積は
$2\sin\theta\cdot\sin2\theta=4\cos\theta(1-\cos^2\theta)$
となる． $\cos\theta=x$ とおくと四辺形の面積は
$S(x)=4(x-x^3)$ （ $0\lt x\lt 1$ ）
となるが，3次関数の形から， $x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ のときに最大となり，最大値は $\dfrac{8\sqrt{3}}{9}$ となる．

3次関数が極大と極小をもつとき，2×4の箱の中に閉じ込められる、という話は今や人口に膾炙した。4等分の法則とか、畳8畳とか色々名前がついている。しかし 1:2 の話が多いが、変曲点と同じ高さに来るところが $\sqrt{3}$ となる話を書いている人は少ない。本問の場合は変曲点と同じ高さは $-1,0,1$ ( $0$ が変曲点)となるので，極値が同じ高さに来る幅 $1$ の $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 倍になるので， $0\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times 1$ で極大、極小が与えられ， $x^3$ の係数が負であるから， $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で極大(変域から最大)となることがわかる。