[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1947年(昭和22年)東京帝國大學醫學部藥學科-數學[2]

2022.07.16記

[2] 次の凾數の極大・極小を求む．
f(x)=x^x（x \gt 0）

2022.07.17記
x^x の導関数は，対数微分法を教えるときに用いられるが，合成関数の微分で処理してみよう．

[解答]
f(x)=e^{x\log x} であるから，f'(x)=e^{x\log x}\left(\log x+1\right)となるので，x>0 のとき f'(x)=0 なる x は\log x+1=0，つまり x=\dfrac{1}{e} である．そしてその前後で f'(x) は符号を負から正に変えるので，f(x) は x=\dfrac{1}{e} で極小であり，極小値は e^{-\frac{1}{e}} である．