1953年(昭和28年)東京大学-数学(解析ＩＩ)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[1] 函数 $y=Ax+B+\dfrac{C}{x}$ に関し，次の各条件を求めよ．

(1) そのグラフが原点に関して対称な条件．

(2) そのグラフが $x$ 軸と共有点をもたない条件．

(3) 極大値も極小値もとらない条件．

2024.09.23記
本問では関数「 $\dfrac{0}{x}$ は $x=0$ で定義されない」とは考えずに，「 $\dfrac{0}{x}$ は（この項がないものと考えて） $x=0$ でも値が0になる」とは考えることにする．

[解答]
(1) $y=Ax+B+\dfrac{C}{x}$ のグラフを原点に関して対称移動させると $-y=-Ax+B-\dfrac{C}{x}$ ，つまり $y=Ax-B+\dfrac{C}{x}$ となる．これが $y=Ax+B+\dfrac{C}{x}$ に一致するので $B=0$ である．

(2) (i) $C=0$ のとき：
$y=Ax+B$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもたない条件は「 $A=0$ かつ $B\neq 0$ 」である．

(ii) $C\neq 0$ のとき：
(a) $A=0$ のとき：
$y=B+\dfrac{C}{x}$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもたない条件は「 $B=0$ 」である．

(b) $A\neq 0$ のとき：
$y=Ax+B+\dfrac{C}{x}$ のグラフが $x$ 軸と共有点をもたない条件は
2次方程式 $Ax^2+Bx+C=0$ が $x=0$ 以外の実数解をもたないことである．
ここで $C\neq 0$ よりこの2次方程式は $x=0$ を解にもたないので，
「 $AC-4B^2\lt 0$ 」が求める条件である．

以上をまとめて
「 $A=C=0$ かつ $B\neq 0$ 」
または
「 $A=B=0$ かつ $C\neq 0$ 」
または
「 $A\neq 0$ かつ $C\neq 0$ かつ $AC\lt 4B^2$ 」

となる．

注）河合塾72年では「 $\dfrac{0}{x}$ は $x=0$ で定義されない」と考えて「 $A\neq 0$ かつ $B=C=0$ 」も答えに入れている．立場さえ明確にしておけばどちらでも構わない．

(3) (i) $C=0$ のときは1次関数であるから，極値をもたないので条件をみたす．

(ii) $C\neq 0$ のとき $y'=\dfrac{Ax^2-C}{x^2}$ であるから，極値をもつ条件は
$Ax^2-C=0$ が2次方程式となり相異2実解をもつこと，つまり「 $A\neq 0$ かつ $AC\gt 0$ 」となる．
よって極値をもたない条件はド・モルガンの法則により
「 $A=0$ または $AC\leqq 0$ 」となる．

以上をまとめると $AC\leqq 0$ となる．

[別解]

(3) $y'=A-\dfrac{C}{x^2}$ により，極値をもつ条件は $A-\dfrac{C}{x^2}=0$ をみたす実数 $x$ が存在してその前後で $y'$ が符号を変化させることであるから，「 $C\neq 0$ かつ $\dfrac{A}{C}\gt 0$ 」となる．よって極値をもたない条件はド・モルガンの法則により「 $C=0$ または $\dfrac{A}{C}\leqq 0$ 」となるが，これは $AC\leqq 0$ と同値である．