1954年(昭和29年)東京大学-数学(一般数学)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

[3] 右の図はある位置におかれた立方体の平面図である． $\rm ABCDEF$ は正六角形で辺 $\rm BC$ ， $\rm EF$ は基線 $l$ に垂直である．

(i) この立方体の立面図をえがけ．

(ii) $\rm AB$ の図上の長さが $a$ ならば，稜と対角線の実長はそれぞれいくらか．

2020..10.13記

[解答]
平面図は正6角形となっており、その中心に対応する頂点を $\rm G，H$ とし， $\rm H$ が手前（平面図だから上）とすると，この立方体は例えば $\rm AHEF-BCDG$ のように書ける．

ここで， $l$ に平行な $\rm BF$ は実長であり，本来その長さの $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 倍であるはずの $\rm BC$ が平面図では $\rm BF$ の長さの $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 倍で描かれているので、線分 $\rm BC$ は実長の $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 倍で描かれていることがわかり，その長さが $a$ である．よって

立方体の稜の実長は $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}a$ となる．そして対角線の実長はその $\sqrt{3}$ 倍の $\dfrac{3}{\sqrt{2}}a$ となる（(ii)の答）．

さて，平面図について考察しよう．平面図で線分 $\rm BC$ は実長の $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 倍で描かれているので、ピタゴラスの定理から，立面図では実長の $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ 倍で描かれる．つまり立面図における $\rm BC$ の描かれる長さは、平面図で描かれる長さの $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 倍となる．

また、対角線によって残りの頂点は高さが 3等分されるところに位置するので，次図のようになる（(i)の答）．