1955年(昭和30年)東京大学-数学 - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2020.10.26記

4科目のうち2科目を選択せよ

【解析Ｉ】

[1] 任意の実数 $x，y$ に対して，不等式
$x^2+4xy+4y^2+10x+ay+b\gt 0$
がつねに成り立つために定数 $a，b$ の満足するべき条件を求めよ．

[2] 二つの二次方程式
$x^2+x \cos\theta+\sin\theta =0$ ， $x^2+x\sin\theta+\cos\theta =0$
が少くとも一つの実根を共有するとき， $\theta$ の値を求めよ．ただし， $0^{\circ}\lt\theta\lt 360^{\circ}$ とする．

[3] 図のように長方形 $\rm ABCD$ の中にたがいに外接する二円 ${\rm O}，{\rm O}′$ があって，円 $\rm O$ は $\rm AB$ と $\rm BC$ に接し，円 ${\rm O}′$ は $\rm AD$ と $\rm DC$ に接する．
このとき二円の面積の和を円 $\rm O$ の半径 $x$ の函数 $f(x)$ と考えてそのグラフをえがきその函数の最大値と最小値を求めよ．
ただし ${\rm AB}=8a，{\rm BC}=9a$ とする．

注意． $f(x)$ のグラフをえがくのには，右図のような座標軸を答案用紙に写しとって用いよ．

［図が2 つ］

【解析ＩＩ】

[1] 次の函数のグラフをえがけ．
(i) $y=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{x^{n+1}+x^{-n-1}}{x^{n}+x^{-n}}$ ，ただし $x\neq 0$ とする．

(ii) $y=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{\cos^2 \pi x+n\sin^2 \pi x}$

[2] 直交座標に関し，四点 ${\rm O}(0，0)$ ， ${\rm A}(1，0)$ ， ${\rm B}(1，1)$ ， ${\rm C}(0，1)$ を頂点とする正方形がある． $x\gt 0$ ， $y\gt 0$ ， $xy =2$ となるように二点 ${\rm P}(x，0)$ ， ${\rm Q}(0，y)$ をとるとき， $\triangle\rm OPQ$ と正方形 $\rm OABC$ との共通部分の面積の最大値を求めよ．

[3] 右の図のようにとった直交軸に関し，直線 $y =x$ より上，曲線 $y =x^3$ より下，直線 $x=a$ より左にある平面の部分の面積を求め，それを $a$ の函数と考えてそのグラフをえがけ．

[図]

【幾何】

[1] 任意の三角形ABC の外側に， $\rm AB$ ， $\rm AC$ をそれぞれ一辺とする平行四辺形 $\rm ABDE$ ， $\rm ACFG$ を任意に作り，直線 $\rm DE$ ， $\rm FG$ の交点を $\rm H$ とする．
次に $\triangle \rm ABC$ の辺 $\rm BC$ を一辺として平行四辺形 $\rm BCKL$ を $\rm CK//HA$ ， $\rm CK=HA$ となるように作れば
▱ $\rm ABDE+$ ▱ $\rm ACFG=$ ▱ $\rm BCKL$
となることを証明せよ．

[図]

[2] 定直線 $l$ とこれに接する定円 $\rm O$ とがある．この円の任意の直径の両端を通り定直線 $l$ に接する円の中心の軌跡を求めよ．またその図をえがけ．

[3] 空間にある正三角形を一つの平面上に正射影したとき，三辺の長さがそれぞれ $2，3，2\sqrt{3}$ であるような三角形がえられた．もとの正三角形の一辺の長さはいくらか．

【一般数学】

[1] ある人が $A$ 円を預金しその後一年目ごとに $\dfrac{A}{10}$ 円ずつ引き出すとする．利息は年 $8$ % の利率で，一年ごとの複利で計算するとすれば，何回引き出したときにはじめて残りが $\dfrac{A}{10}$ 円未満となるか．ただし $\log_{10} 2=0.3010$ ， $\log_{10} 3=0.4771$ とする．

[2] 右の図のような投影図をもち，平面で囲まれた立体の体積を求めよ．ただし四角形ABCD は長方形である．

[3] $10$ 個の数字 $0，1，…，9$ のどれかをとる変数 $\alpha$ と $\beta$ がある． $x=3.\alpha，y =2.\beta$ とし，これらを四捨五入して得られる整数をそれぞれ $a，b$ とする． $x+y$ と $a+b$ との差の絶対値が $0.5$ より小さくなる確率を求めよ．
ただし $\alpha$ と $\beta$ は互いに独立で，どの数字をとる確率もすべて等しいとする．