2024.02.24記
【解析I】
[1] 平面上の点 に , によって定まる点 を対応させる.
(i) 四点 ,,, を頂点とする長方形は,この対応によってどのような図形にうつるか.図をかいて説明せよ.ただし , とする.
(ii) その図形の面積ともとの長方形の面積との比を求めよ.
[2] , は実の定数で, である.このとき, を任意の正の数とすれば に関する二次方程式
は虚根をもつ.それらを ,(, は実数で )とすれば, が正の範囲を動くとき点 はどのような曲線をえがくか.それを図示せよ.
[3] 井戸に小石を落としたところ,小石が水面に達した音が 秒後に聞こえた.
(i) 重力の加速度を ,音の速度を ,地面から水面までの距離を とするとき, を ,, で表わせ.ただし空気の抵抗は無視するものとする.
(ii) 音が伝わるのに要する時間を無視すれば, の近似値として が得られる.
このとき,相対誤差 が与えられた正数 より小さくなるためには, は ,, によって定まるある限界より小さくなければならない.この限界を求めよ.
【解析II】
[1] 時刻 における点 の位置 がつぎの方程式(i),(ii),(iii),(iv)によって与えられている.各場合について, が から まで変わるとき点 のえがく軌跡を下の例にならって図示せよ.
例
Fig
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
[2] , を実の定数とするとき,定積分
を求めよ.また を最小にする , の値を定めよ.
ただし を定数とするとき,
である.
[3] , 平面上の点 を ,直線 を とする. を含み軸に垂直な平面上に, を中心とし と角 をなす長さ の線分 をとり,, から 軸に下ろした垂線の足をそれぞれ , とする.ねじれ四辺形 を 軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ.
fig
【幾何】
[1] 二つの円弧 と が弦 の同じ側にあって,いずれも半円より大きいとする. を通る直線 が弧 , と交わる点をそれぞれ , とすれば, がどのような位置にあるとき線分 の長さが最大となるか.
[2] の内部に をとり,その三辺 ,, はそれぞれ
の三辺 ,, に平行で,対応する辺の間の距離はいずれも であるとする. の周が の周の であるとき, を ,, で表わせ.ただし ,, とする.
fig
[3] 直方体の頂点を図のように ,,,,,,, とし辺の長さを ,, とする.
(i) 対角線 が平面 と交わる点を とするとき, を求めよ.
(ii) 四面体 の体積を求めよ.
Fig