[別館]球面倶楽部零八式markIISR

東大入試数学中心。解説なので解答としては不十分。出題年度で並ぶようにしている。大人の解法やうまい解法は極めて主観的に決めている。

1954年(昭和29年)東京大学-数学

4科目のうち2科目を選択せよ

【解析Ｉ】

[1] 函数 $y=\sqrt{x^2+x+1}$ のグラフをえがけ．

[2] 点 $(x,\,y)$ が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき，点 $(x+y,\,xy)$ の動く範囲を図示せよ．

[3] $a$ ， $b$ は正の數で $\log ax \log bx+1=0$ を満足する正の数 $x$ があるとき， $\dfrac{b}{a}$ はどのような範囲にあるか，ただし $\log$ は常用対数を表わすものとする．

【解析ＩＩ】

[1] 次の函数の最大値と最小値を求めよ． $a\cos^2x+2b\cos x\sin x+c\sin^2x$

[2] 等脚台形の1つの底辺が $7a$ ，等辺が $2a$ であるとき，その面積を最大にするには，その高さをいくらにしたらよいか．

[3] 右の図で曲線 $\rm ACB$ は $y$ 軸に関して対称で，点 $\rm A$ ， $\rm B$ で $x$ 軸に接し，かつ $x$ の4次の整式のグラフとなっている．

(i) 曲線 $\rm ACB$ の方程式を求めよ．

(ii) 曲線 $\rm ACB$ を $y$ 軸のまわりに回転するときできる立体の体積を求めよ．
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【幾何】

[1] 2円 $\rm O$ ， $\rm O'$ が点 $\rm A$ ， $\rm B$ で交わるとき， $\rm A$ を通る1つの直線が円 $\rm O$ ， $\rm O'$ とそれぞれ $\rm P$ ， $\rm P'$ でふたたび交わり， $\rm B$ を通ってそれと平行な直線が円 $\rm O$ ， $\rm O'$ とそれぞれ $\rm Q$ ， $\rm Q'$ で交わるとする．

(i) 四辺形 $\rm PQQ'P'$ は平行四辺形となることを証明せよ．

(ii) この平行四辺形の面積が最大となるのはどのようなときか．

[2] 平面上に点 $\rm A$ と，それを通らない直線 $g$ とが与えられている．この平面上に点 $\rm P$ をとり， $\rm P$ から $g$ に下した垂線の足を $\rm Q$ とする． $\rm AP:AQ$ が一定の値をとるような点 $\rm P$ の軌跡は何か．その図をえがけ．

[3] 空間において，3定点 $\rm A$ ， $\rm B$ ， $\rm C$ からの距離の2乗の和が一定であるような点の軌跡を求めよ．

【一般数学】

[1]半径に等しい長さの円弧に対する中心角を1弧度という．従って1弧度は $\dfrac{180}{\pi}$ 度である． $\pi=3.1415926…$ をなるべく少ない桁数で4捨5入して1弧度の近似値を計算しその誤差を30秒以下にしたい． $\pi$ の近似値を何とすればよいか．

[2] 4つのクラスから3人ずつ選手がでている．これを4人ずつ3組に分けて1組ずつ競争させる．

(i) 同じクラスのものが同じ組に入らないように分けるとき，番組は幾通りできるか．

(ii) 勝手に組分けする場合，番組は幾通りできるか．

(iii) (ii)の場合，特別の2名のものが同じ組に入る確率はいくらか．

[3] 右の図はある位置におかれた立方体の平面図である． $\rm ABCDEF$ は正六角形で辺 $\rm BC$ ， $\rm EF$ は基線 $l$ に垂直である．
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(i) この立方体の立面図をえがけ．

(ii) $\rm AB$ の図上の長さが $a$ ならば，稜と対角線の実長はそれぞれいくらか．

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